“代数式”中的典型问题及解决思路

许紫珩

一、“日历”问题

例1 如图1，用一个“T”形框在2022年11月的日历上可以框出5个数。例如，图中两个“T”形框中的5個数的和分别是31和92。如果“T”形框在图1中框出的5个数的和是91，那么这5个数中最大的数是___________。

【解析】由图1可知，“T”形框分两种情况。设“T”形框中最小的数为x，用含x的代数式分别表示其余的数，根据图中框出的5个数的和是91，列出方程，求解即可。

【点评】本题的主要思路是借助整式的加减，探究和表示实际问题中的数量关系。在整式的学习之后，同学们对整式有了基本认识，但对于抽象字母的理解可能还停留在概念和加减运算上。希望同学们在后续学习中注重加强理论与生活的联系，借助“月历求和”等情景以及学过的知识，慢慢体会从特殊到一般的探究过程。

二、“代数推理”问题

例2 已知：[abc]是一个三位数，其中a+b+c能够被9整除，试说明，这个三位数能够被9整除。

【解析】此题考查了列代数式和整式的加减。将“[abc]是一个三位数”“a+b+c被9整除”通过代数式表示出来是第一个难点；运用整体思想，将代数式变形成能被9整除的形式，是本题的第二个难点。

解：由题可知，这个三位数可表示为100a+10b+c。

∵a、b、c的和能被9整除，

∴可设a+b+c=9k，其中k为正整数。

∴100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）

=99a+9b+9k

=9（11a+b+k）。

∵a、b、k均为正整数，

∴11a+b+k为正整数。

∴100a+10b+c能被9整除。

∴这个三位数能够被9整除。

【点评】用字母a表示百位上的数字，字母b表示十位上的数字，字母c表示个位上的数字，合理运用“用字母表示数”，式子100a+10b+c便具有三位数的一般特点。将多项式进行某种变形，通过整体变换进行求解是该种类型常见的解题思路，即从条件出发，整体考虑，逆向思考，将待求解的式子通过法则凑成已知条件的形式，寻找已知条件和待求解式子之间的关联，然后进行整体变换。

三、“比大小”问题

例3 已知a＜b，试比较a与[a+b2]的大小。

【解析】代数式的大小比较，通常可以用作差法进行代数推理。而本题中，代数式所表示的数比较特殊，我们也可以通过数形结合的思想，将其直观地在数轴上表示出来，即可解决问题。

解法一：[a+b2-]a=[b-a2]。

∵a＜b，

∴b-a＞0。

∴[b-a2]＞0。

∴[a+b2]＞a。

解法二：记a、b在数轴上表示的点分别为A、B。

∵a＜b，

∴A、B两点在数轴上的表示如图2所示。

设点C表示的数为[a+b2]，则点C是线段AB中点，在数轴上的表示如图3所示。

∴点C在点A右边，即[a+b2]＞a。

【点评】我们在利用“作差法”解决这类问题的时候，还可以对代数式具有的几何意义进行一些思考。虽然我们已经能够初步理解符号的意义，也能对周围的事物做出一些较为简单的概括，但如果我们能够通过几何直观的方式，将代数式与数轴等几何图案进行结合，那么我们还可以更为深刻地、直观地理解一些代数式相关的问题。

（作者单位：江苏省南京市旭东中学）