指向数学抽象素养培养的概念教学设计与反思

王科娜

［摘  要］ 文章以分式概念教学为例，提出分式概念教学的路径，并以此教学路径（经历发现、经历类比、经历抽象）来培养学生的数学抽象素养.

［关键词］ 数学抽象；核心素养；分式；概念教学

在概念教学中，通过设计合理的数学活动，让学生经历概念发现、类比、抽象的过程，有利于促进学生数学抽象素养的生成［1］. 笔者以分式概念教学设计为例，探寻培养学生数学抽象素养的有效路径，以构建高效的数学课堂.

教学设计与剖析

（一）教学内容剖析

本节课的主要内容包括：分式的概念、分式有意义的条件、根据实际问题列出分式. 讲清分式的概念是关键，在教学过程中，教师应引导学生运用类比思维的学习分式，从而得到研究分式的基本路径，不断培养学生类比推理的核心素养. 在整式的四则运算中，由于整式的除法的结果不一定是整式，由此得到分式的概念. 类比整数与分数统称有理数，获得整式与分式统称有理式的结论，能培养学生数学抽象的意识，使学生形成完整的研究思路与方法.

（二）教学目标剖析

1. 掌握分式的概念，明白分式有意义的条件；

2. 能根据现实生活中的数量关系列出分式；

3. 由分数的研究内容及路径获得分式研究的内容及路径.

第一个教学目标完成的标志：能判别一个代数式是分式还是整式，理清分式与分数的相同点和不同点，理清分式与整式的相互联系；在分式有意义的情况下，能确定参数的取值范围.

第二个教学目标完成的标志：能分析现实生活中的数量关系，从而列出分式.

第三個教学目标完成的标志：回顾分数的研究思路，获得研究分式的基本流程是定义—性质—运算.

（三）教学难点剖析

学生在此之前学习的数学知识可以为本课学习的储备. 如：整式及其运算，分数及其运算等. 如果只是理解分式的概念并不难，难的是理解分式与分数的联系和区别、分式与整式的联系和区别. 所以设计合理的数学活动，经过类比分数、类比整式，获得分式研究思路，这是突破教学难点的方法，也有利于提高学生数学抽象素养.

（四）整体教学思路

首先，让学生回顾分数的实质是整数相除的商，当两个整数不能整除时，结果用分数表示. 其次，让学生回顾整式的除法运算，当两个整式相除，当相除的结果不是整式时，怎么办呢？于是有了分式. 在研究分数时，先确定研究对象，再探索性质，最后研究运算法则，类比分数确定分式的研究也是这样. 根据数系的扩充过程，从整数、分数到有理数，类比代数式的扩充从整式、分式到有理式.最后，让学生厘清两者的区别与联系，即整式与分式、分数与分式.

（五）教学基本流程

1. 从分数到分式，类比发现

问题1：任意取两个整数，计算它们的和、差、积、商. 其结果都是整数吗？

生：两个整数的和、差、积一定是整数，但是商不一定是整数. 如3与-4的和为-1，差为7，积为-12，但是商为-.

追问：当两个整数相除的结果不是整数时，结果用分数表示，你能说一下-的意义吗？

生：-是指把-3分成4份，每一份是多少？

设计意图 通过两个整数的四则运算，发现分数的本质属性，为后面研究分式提供范例. 同时，看到数系拓展的发生过程，即从分数到分式是从特殊到一般的过程.

问题2：如果用s（单位：km）表示路程，用v（单位：km/h）表示速度，如何表示行驶时间呢？

追问：任意两个整式的和、差、积、商一定是整式吗？

师生活动：当用s表示路程，用v表示速度，时间可用来表示. 两个整式的和、差、积都是整式，如x+（x2-1）=x2+x-1，x-（x2-1）=x-x2+1，x（x2-1）=x3-x，而两个整式的商x÷（x2-1）的结果却不是整式.

追问：类比分数，如何表示x÷（x2-1）的商呢？

师生活动：类比两个整数相除，结果不是整数时，可用分数表示，那么两个整式相除，结果不是整式时，也可以用分数的形式表示，即x÷（x2-1）=.

设计意图 用类比整数相除的方法，引导学生研究整式相除的运算，发现需要引入新的式子表示两个整式不能整除的结果，从而引入分式.

问题3：（1）有两块田，第一块x公顷，年产棉花m千克；第二块田y公顷，年产棉花n千克；这两块田平均每公顷的棉花年产量是______.

（2）一辆汽车以80千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度增加v千米/时，那么从A城到B城需要______小时.

师生活动：教师引导学生分析题中的数量关系，列出两个分式，分别是，，同时指出这是一类新代数式，本章主要研究这一类代数式的性质、运算及应用.

设计意图 引入两个生活事例，让学生感受到生活中存在用分式这种代数式表示的事例，并指出本章的研究主题及其主要内容.

2. 类比发现，抽象分式概念

问题4：回顾在小学阶段学习的分数的有关知识，类比分数的研究思路，说说此类新的代数式应该如何研究？

师生活动：立足教师引导，师生一起回忆分数的意义和基本性质，分数的通分约分及运算，从而总结研究分数的基本思路是先学定义、再学性质、最后学运算. 以此为路径，师生共同提出研究分式也应该按先定义、再性质、最后运算的思路.

设计意图 师生共同回忆分数是为了获取数学活动经验，从而生成研究分式的基本路径. 同时，也确立了这一课的学习内容，即分式的定义、分式的性质以及分式的运算.

问题5：请比较这类新代数式与分数、整式的异同，说明这类新代数式的特征.

师生活动：教师让学生观察新的代数式：，，，，发现它们都是两个整式相除的商，如果用两个A，B表示两个整式，那么这类代数式可以表示为（且B中含有字母）.

追问：类比整数与分数统称为有理数，那么整式与分式可以统称为什么呢？

生：有理式.

问题6：之前学过的整式与这里学习的分式有何区别与联系呢？分数与分式呢？

师生活动：通过是整式，而是分式，说明了整式与分式的区别在于整式的分母中没有字母，而分式的分母中有字母，二者的联系就是分式是整式的除法运算. 通过是分数，而是分式，这也充分说明分数是分式的特殊化形式，分式是分数的一般化形式.

问题7：下列式子中的字母为何值时，分式有意义？

；；.

问题8.当a取何值时，分式的值为零？

3. 回顾反思，小结提升

（1）分式是如何定义的？要使分式有意义，必须满足什么条件？（2）说说你眼中的整式与分式. （3）我们是如何发现分式，认识分式的呢？（4）对于分式，在接下来的学习中，应该研究分式的什么内容呢？

教学反思

（一）经历发现的过程

在数学活动中，让学生发现问题并提出问题是组织活动的目的之一［2］. 在整数的四则运算中，整数的加、减、乘三种运算的结果都是整数，而除法运算的结果并不是整数，于是引入了分数的概念. 分数在现实生活中也有一定的现实意义，即均分物品与度量的需要. 借助现实情境，把现实情境一般化处理后，获得了整式的四则运算，学生发现在整式的运算中，整式的加、減、乘三则运算的结果都是整式，而相除的结果不一定是整式，必须引入一类新类型的代数式，于是分式自然生成，分式是从数到式的抽象，是代数运算发展的必然结果.

（二）经历类比的过程

新的代数式——分式被发现后，为了能合理地进行分式运算，解决生活中的问题，师生共同回顾研究分数的历程，学生忽然发现，原来分式的研究路径与分数有很多相通的地方. 即首先给研究对象下定义，接着探索研究对象的基本性质，然后制定研究对象的计算准则，最后把学到的知识应用在现实中解决问题. 这也从整体的视角建构了学生研究的思路，对于学生系统化学习数学知识、丰富学习经验具有重要的作用.

（三）经历抽象的过程

在整式的四则运算中发现了分数的本质，即分数是两个整数相除的表现形式. 通过类比的方法获得了分式的本质属性，即两个整式相除所得的商，且让学生在现实事例中发现分式的存在.学生给分式下定义时，认为两个整式的商就是分式，笔者通过举例的形式，让学生发现分式的分母中必须有字母这一关键条件. 在符号化的过程中，笔者让学生把分式与分数比较，把分式与整式比较，从而发现将分数一般化得到分式，分式是两个整式相除的表现形式. 最后，通过两个例题，进一步巩固了分式的概念、分式的分母不能为0、分式的值为0的条件等知识. 让学生经历数学概念抽象的过程，使学生积累了数学概念形成的活动经验，提升了学生的数学抽象素养.

参考文献：

［1］ 周孝辉. 基于问题驱动 凸显生本课堂——以“分式”教学为例［J］. 中学教研（数学），2021（05）：26-29.

［2］ 严艳. 单元整体教学中核心素养目标的落实——以“分式”单元起始课为例［J］. 中学数学教学参考，2020（20）：25-27.