广义二次矩阵的广义多项式秩不变性

陈梅香, 杨忠鹏, 林志兴, 冯晓霞

(1. 莆田学院 应用数学福建省高校重点实验室, 福建 莆田 351100；2. 闽南师范大学 数学与统计学院, 福建 漳州 363000)

0 引 言

广义二次矩阵[1]是二次矩阵的推广[2-6], 目前关于广义二次矩阵的研究已有很多结果[7-22]. 设n×n,[x]分别为复数域上的n×n阶矩阵集合和一元多项式集合,r(A)为A∈n×n的秩,I(Ir)为r×r阶单位矩阵,+为正整数集合.约定Ψn={P∈n×n|P2=P}.如无特殊说明, 本文的矩阵P均为幂等矩阵, 即P∈Ψn.若存在d,e∈, 使得(A-dI)(A-eI)=0, 则称A∈n×n为由d,e确定的二次矩阵.若

A2=αA+βP,P2=P∈Ψn,AP=PA=A,α,β∈,

(1)

则A称为(由幂等矩阵P和α,β∈确定的)广义二次矩阵[1], 且记

Ωn(P)={A∈n×n|A2=αA+βP;α,β∈,AP=PA=A}.

(2)

文献[15,20-22]使用了定义式(1), 还可以使用如下定义：

Ωn(P;d,e)={A∈n×n|(A-dP)(A-eP)=0,AP=PA=A},

(3)

其中P∈Ψn.当P=I时, 式(3)即为由d,e确定的二次矩阵.由式(1)～(3)易得:

(A-dP)(A-eP)=A2-αA-βP=0,

(4)

其中

(5)

由命题1知, 式(3)与式(1)广义二次矩阵的定义等价.

命题2[1]设P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),k∈+, 则Ak∈Ωn(P),

Ak+1=αkA+βkP,

(6)

其中α1=α,β1=β且αk+1=ααk+βk,βk+1=βαk.

文献[7]将命题2推广到广义二次算子上.文献[1]用归纳法, 由式(1)出发比较了Ak+1=AAk与Ak+1=αkA+βkP中A,P对应的系数, 得到了αk,βk的计算公式(6).本文延续文献[1]的结论和研究方法.

对任意一组复数am,…,a1,a0, 文献[1]考虑了A∈Ωn(P)的多项式：

fP(A)=amAm+…+a1A+a0P,

(7)

这里f(x)=amxm+…+a1x+a0∈[x],m∈+.

例1表明, 文献[1]给出的广义二次矩阵多项式(7)与通常意义下的矩阵多项式不同.因此文献[11]称式(7)中的fP(A)为A的广义多项式合理.

命题3[1]设P2=P∈Ψn,A∈Ωn(P)满足式(1),f(x)由式(7)确定, 则

fP(A)=α*A+β*P∈Ωn(P),

(8)

式(8)表明, 广义二次矩阵A的fP(A)对Ωn(P)的运算是封闭的, 且fP(A)作为A与P的线性组合系数, 可由式(8)得到, 并与多项式f(x)有关.对给定的p,q∈, 总设

Γ(p,q)={(a,b):ab(ap+bq)≠0,a,b∈},

特别地,Γ=Γ(1,1).由文献[23-24]可知, 对线性算子Fredholm稳定性质的研究有一定的理论意义.

命题4[25-26]设P,Q∈Ψn, 则r(aP+bQ)=r(P+Q), (a,b)∈Γ.

命题5[27-28]设P,Q,A,B∈n×n, 则

r(PQ-QP)=r(P-Q)+r(I-P-Q)-n=r(PQ-PQP)+r(PQP-QP),

(9)

r(AB-BA)=r(A+B)+r(A-B)-n,

(10)

其中P2=P,Q2=Q,A2=B2=I.

本文根据文献[22], 利用A∈Ωn(P;d,e)与幂等矩阵P的关系, 证明广义二次矩阵可表示为两个幂等矩阵的线性组合, 并讨论广义二次矩阵中广义多项式的基本性质及其运算的秩不变性.结果表明, 广义多项式的秩不仅与组合系数的选择无关, 而且在大多数情况下与多项式的选择也无关.从而概括并推广了已有幂等矩阵、 对合矩阵、 二次矩阵、 广义二次矩阵的相关结果.

1 预备知识

引理1设P∈Ψn,AP=PA=A.如果d,e∈且d≠e, 则

(11)

且当A∈Ωn(P;d,e)时,

A=(e-d)CA+dP=(d-e)KA+eP,PCA=CAP=CA,PKA=KAP=KA,

(12)

A=eCA+dKA,CA+KA=P,CAKA=KACA=0.

(13)

证明: 当A∈Ωn(P;d,e)且d≠e时, 由式(3)知(A-dP)(A-eP)=0, 则

当A∈Ωn(P;d,e)时, 由式(11)可得(e-d)CA+dP=(A-dP)+dP=A, 又由AP=PA=A可知,

同理可得A=(d-e)KA+eP且PKA=KAP=KA.因此式(12)成立.当A∈Ωn(P;d,e)时, 由式(11)可得

结合式(3)得

(15)

即式(13)成立.证毕.

引理2设P∈Ψn,A∈n×n且AP=PA=A, 则有可逆矩阵G和W, 使得

P=Gdiag(Ir,0)G-1,r(P)=r；A=Gdiag(A1,0)G-1,A1∈r×r；

(16)

A∈Ωn(P;d,e)⟺A1∈Ωr(Ir;d,e).

(17)

当d≠e时,

A=Wdiag(dIt,eIr-t,0)W-1∈Ωn(P;d,e),P=Wdiag(Ir,0)W-1.

(18)

证明: 由文献[14]中引理9或文献[16]中定理1.1及文献[21]中引理1的证明知, 式(16)成立.从而

(A-dP)(A-eP)=Gdiag((A1-dIr)(A1-eIr),0)G-1,AP=PA=A.

故由式(3)得式(17).由文献[16]中定理1.1(iii)的证明或文献[20]中引理3的(9)得式(18).证毕.

对∀f(x)∈[x]形如式(7), 当P∈Ψn,r(P)=r,AP=PA=A时, 由式(16),(17)可得

fP(A)=amAm+…+a1A+a0P=Gdiag(f(A1),0)G-1,

(19)

其中A1∈r×r.文献[16,19]中研究的广义二次矩阵是由同一个幂等矩阵确定的, 本文讨论更一般的情形.约定： 若P,Q∈Ψn, 则A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB), 且对f(x),g(x)∈[x], 设

ω=ω(A,B)=(eA-dA)(eB-dB),ωf,g=(f(eA)-f(dA))(g(eB)-g(dB)).

(20)

将文献[8]中定理2和文献[9]中定理3.2应用到有限维空间, 可得:

引理3设P,Q∈Ψn,A∈Ωn(P),B∈Ωn(Q)满足A2=αAA+βAP,βA≠0, 且B2=αBB+βBQ,βB≠0.如果P-Q可逆, 则A-B可逆.

引理4设P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB)且dA≠eA,dB≠eB.则

r(CACB-CBCA)=r(CA1CB1-CB1CA1)=r(AB-BA).

(22)

当dA=dB=d≠e=eA=eB时,

r(AB-BA)=r(A-B)+r[(e+d)P-A-B]-r(P).

(23)

当A∈Ψn,B∈Ωn(I;0,μ)时,

r(AB-BA)=r(AB-ABA)+r(ABA-BA).

(24)

证明: 式(21)可由文献[12]中定理3.1的式(3.1),(3.4)得到, 式(22)来源于文献[12]定理3.1证明中的式(3.6), 式(23)即为文献[12]中定理4.1, 式(24)可由文献[12]中式(4.4)得到.证毕.

2 广义二次矩阵的广义多项式

定理1设P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e), 则当d≠e时,

Ak=(ek-dk)CA+dkP,k∈+；

(25)

当d=e时,

Ak+1=(k+1)dkA-kdk+1P,k∈+;

(26)

且

Ak∈Ωn(P;dk,ek),k∈+.

(27)

证明: 当d≠e时, 用归纳法证明式(25).当k=1时, 由式(11)知式(25)成立.假设当k-1≥1时, 式(25)成立, 即有Ak-1=(ek-1-dk-1)CA+dk-1P, 则由式(11)有

即式(25)成立.

当d=e时, 由式(3)知当k=1时式(26)成立, 且A2=2dA-d2P,A∈Ωn(P;d,d)； 而

A3=2d(2dA-d2P)-d2A=3d2A-2d3P,

即当k=2时式(26)成立.假设k-1≥2时式(26)成立, 即

Ak=A(k-1)+1=kdk-1A-(k-1)dkP,

则

Ak+1=AkA=kdk-1(2dA-d2P)-(k-1)dkA=dk[2k-(k-1)]A-kdk+1P,

即式(26)成立.

即式(27)成立； 当d≠e且dk=ek时, 由式(25)知(Ak-dkP)2=0, 此时式(27)成立.当d=e时, 由式(26)得

A2k=2kd2k-1A-(2k-1)d2kP=2dk[kdk-1A-(k-1)dkP]-d2kP=2dkAk-d2kP,

即(Ak-dkP)2=0, 此时式(27)成立.证毕.

推论1设P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),k∈+, 则式(6)中的

αk=dk+dk-1e+…+dek-1+ek,βk=-(dke+dk-1e2+…+dek).

(28)

证明: 当d≠e时, 由式(25)和引理1知

再由式(6)知式(28)成立.当d=e时, 由

dk+dk-1e+…+dek-1+ek=(k+1)dk=αk, -(dke+dk-1e2+…+dek)=-kdk+1=βk,

并结合式(26)知式(28)成立.证毕.

定理2设P∈Ψn,A∈Ωn(P;d,e),f(x)∈[x],f′(x)为f(x)的导数, 则广义多项式fP(A)满足fP(A)P=PfP(A)=fP(A), 并且当d≠e时,

fP(A)=(f(e)-f(d))CA+f(d)P；

(29)

当d=e时,

fP(A)=f′(d)A+(f(d)-f′(d)d)P；

(30)

fP(A)∈Ωn(P;f(d),f(e)).

(31)

证明: 如式(7), 设f(x)=amxm+…+a1x+a0∈[x], 由式(19)和AP=PA=A得fP(A)P=PfP(A)=fP(A).当d≠e时, 由式(7),(11),(25)得

即式(29)成立.

当d=e时, 由式(7),(26)得

又当d=e时, 由A2=2dA-d2P及命题1和式(30), 得

即(fP(A)-f(d)P)2=0, 再由式(3)得式(31).证毕.

当A∈Ωn(I;dA,eA)时, 由定理2可得二次矩阵多项式的相应结论.

3 主要结果

定理3设P,Q∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB), 其中dAdBeAeB≠0,f(x),g(x)∈[x]满足f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0.如果P-Q可逆, 则fP(A)-gQ(B)可逆.特别地, 当a,b∈且ab≠0,k,t∈+时,aAk+bBt可逆.

证明: 由定理2和式(31)知,

fP(A)∈Ωn(P;f(dA),f(eA)),gQ(B)∈Ωn(Q;g(dB),g(eB)).

再由f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0和式(2),(4),(5)得

因此由引理3可知fP(A)-gQ(B)可逆.

设f(1)(x)=axk,g(1)(x)=-bxt∈[x], 由dAdBeAeB≠0知,

定理3表明,fP(A)-gQ(B)可逆只需满足f(dA)f(eA)g(dB)g(eB)≠0, 而与多项式f(x),g(x)的选择无关.当f(x)=g(x)=x时, 由定理3可得引理3.

定理4设P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB),f(x),g(x)∈[x].如果式(20)中ωωf,g≠0, 则广义多项式fP(A),gP(B)的换位子满足

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA).

证明: 由式(11),(20),(25),(27)知,

(32)

再由式(20),(32)得

即

(33)

结合引理4中式(22)可知定理4的结论成立.证毕.

定理4表明, 在约束ωωf,g≠0下, 由同一个幂等矩阵确定的两个广义二次矩阵的两个广义多项式换位子的秩与多项式选择无关.

推论2设P∈Ψn,A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(P;dB,eB),f(x),g(x)∈[x].如果式(20)中ωωf,g≠0, 则广义多项式fP(A),gP(B)的换位子满足

且当dA=dB=d,eA=eB=e时, 有

当dA=1,eA=0时, 有

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA)=r(ABA-AB)+r(ABA-BA);

(36)

当dA=dB=d=-eA=-eB≠0时, 有

r(fP(A)gP(B)-gP(B)fP(A))=r(AB-BA)=r(A-B)+r(A+B)-r(P).

(37)

证明: 当f(x)=g(x)=x时, 由定理4和引理4中式(21)知式(34)成立.再由式(34)分别可得式(35),(36).最后由式(35)知式(37)成立.证毕.

当f(x)=g(x)=x且dA=dB,eA=eB时, 由式(35)可得文献[11]中的式(23).当P=I,f(x)=g(x)=x且取d=1,e=0(d=1,e=-1)时, 由式(35)(或(37))可得文献[27](或文献[28])给出的幂等(或对合)矩阵的秩等式(9)(或(10)).由式(36)可得文献[11]的结论(式(24)), 表明秩等式(9)也适用于幂等矩阵和广义二次矩阵； 式(37)表明式(10)也适用于数量对合矩阵[29].

r(f(A)g(B)-g(B)f(A))=r(AB-BA)=r(A-B)+r(I-A-B)-n.

(38)