带参数的非线性简单支撑静态梁方程正解的存在性及多解性

吴 梦 丽

(西安电子科技大学 数学与统计学院, 西安 710126)

正解的存在性和多解性, 其中: λ>0是一个参数; k1

1 引言与主要结果

四阶常微分方程边值问题是刻画弹性梁平衡状态的数学模型, 在弹性力学、 工程物理、 生物化学等领域应用广泛. 四阶边值问题的解可用于描述平衡状态下弹性梁的形变, 因此, 非线性四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究受到广泛关注[1-12]. Vrabel[1]用上下解方法得到了简单支撑梁方程

(1)

正解的存在性结果, 其中f(x,y)对y单调,k1

α(x)≤y(x)≤β(x), 0≤x≤1.

受上述研究结果启发, 本文在f对第二个变量单调增的条件下通过构造上下解, 用拓扑度理论讨论两端简单支撑梁方程

(2)

正解的存在性和多解性.

本文总假设:

(H1)λ>0是一个参数,k1

(H2)f: [0,1]×[0,∞)→(0,∞)是连续函数;

(H3)f(x,y)对固定的x∈[0,1]关于y单增;

本文主要结果如下:

定理2假设(H1),(H2),(H4)成立, 则当λ充分小时, 问题(2)至少存在一个正解; 当λ充分大时, 问题(2)不存在正解.

定理3假设(H1)～(H4)成立, 则存在λ*>0, 使得当0<λ<λ*时, 问题(2)至少存在两个正解; 当λ=λ*时, 问题(2)至少存在一个正解; 当λ>λ*时, 问题(2)不存在正解.

2 预备知识

1) 若x∈∂Kr, 满足‖x‖≤‖Tx‖, 则i(T,Kr,K)=0;

2) 若x∈∂Kr, 满足‖x‖≥‖Tx‖, 则i(T,Kr,K)=1.

引理2[1]令k1

(3)

的格林函数G(x,s)满足G(x,s)≥0(0≤x,s≤1), 其中

(4)

引理3(极大值原理)[1]若

E={y∈C2[0,1]:y(0)=y(1)=y″(0)=y″(1)=0}.

的解.

定义P,C是Y中的锥:

则

故存在γ1>0.

引理4假设条件(H1),(H2)成立, 则Tλ(C)⊂P, 且Tλ:P→P是全连续算子.

证明: 对任意y∈C,x∈[0,1], 可得

因此Tλ(C)⊂P, 由Arzel-Ascoli定理[14]易证Tλ:P→P是全连续算子.证毕.

3 正解的存在和不存在性

下面证明定理2.由假设条件(H1),(H2), 若q>0, 则

即‖Tλy‖<‖y‖.由引理1可得i(Tλ,Pr1,P)=1.由假设条件(H4),f∞=∞, 故存在H>0, 使得当y≥H时, 对任意的x∈[0,1],f(x,y)≥μy成立.选取μ足够大, 满足λMμγ2>1.取r2=max{2r1,H/γ}, 令Pr2={y∈P: ‖y‖

下面证明解的不存在性.由假设条件(H2),(H4)可知, 存在常数c0>0, 使得当y≥0,x∈[0,1]时,f(x,y)≥c0y.反设y为问题(2)的正解, 由引理4得y∈P.令λ充分大, 满足λMc0γ2>1.则可得

显然矛盾.证毕.

4 构造上下解

定义1如果α满足

α″″(x)+(k1+k2)α″(x)+k1k2α(x)≤λf(x,α(x)),x∈[0,1],

(5)

α(0)≤0,α(1)≤0,α″(0)≥0,α″(1)≥0,

(6)

则α∈C4[0,1]是问题(2)的下解.

定义2如果β满足

β″″(x)+(k1+k2)β″(x)+k1k2β(x)≥λf(x,β(x)),x∈[0,1],

(7)

β(0)≥0,β(1)≥0,β″(0)≤0,β″(1)≤0,

(8)

则β∈C4[0,1]是问题(2)的上解.

引理5[1]假设条件(H1)～(H3)成立, 问题(2)存在下解α(x)和上解β(x), 且满足当x∈[0,1]时,α(x)≤β(x).若f: [0,1]×[α(x),β(x)]→是连续函数, 且

f(x,u1)≤f(x,u2),α(x)≤u1≤u2≤β(x),x∈[0,1],

则问题(2)存在一个解y(x), 满足α(x)≤y(x)≤β(x), 0≤x≤1.

5 多解性

下面用上下解和拓扑度的方法证明问题(2)的多解性.为保证问题(2)的所有可能解都是非负的, 对f做延拓, 使得

f(x,s)=f(x,0),s<0,x∈[0,1].

(9)

引理6假设条件(H1),(H2),(H4)成立, 令I⊂(0,∞)是紧子集.则当λ∈I时, 存在一个常数bI>0, 使得问题(2)的所有解均满足‖y‖≤bI.

矛盾.证毕.

下面用Λ表示问题(2)存在正解的λ>0的集合, 设λ*=supΛ.由定理2知,Λ非空且有界, 故0<λ*<∞.

下证λ*∈Λ.首先令λn→λ*, 其中λn∈Λ,λ1<λ2<…<λn-1<λn<…<λ*.因为{λn}有界, 故由引理6知, 对应问题(2)的解{yn}有界.由积分算子Tλ的紧性, 易得λ*∈Λ.

令y*为问题(2)的一个正解, 对应的λ取λ*, 定义

证明: 因为y≥0, 故y≥-ε.为证明y≤y*+ε, 只需要证y*+ε为问题(2)的上解.又因为y*≥0, 故存在常数a>0, 使得对于所有的x∈[0,1],f(x,y*(x))>a均成立.由f连续知, 存在常数ε0>0, 使得对所有的x∈[0,1], 0≤ε≤ε0, 均有

|f(x,y*(x)+ε)-f(x,y*(x))|

而

(y*+ε)(0)≥0, (y*+ε)(1)≥0, (y*+ε)″(0)=0, (y*+ε)″(1)=0.

若ε>0, 则

(y*+ε)(0)>0, (y*+ε)(1)>0,

因此, 由式(7)和式(8)知,y*+ε为问题(2)的上解.又由引理5知,y≤y*+ε.证毕.

下面证明定理3.令λ∈(0,λ*), 证明问题(2)至少存在两个正解.由于

(y*(x))″″+(k1+k2)(y*(x))″+k1k2y*(x)=λ*f(x,y*(x))>λf(x,y*(x)),

故y*为问题(2)的上解, 显然0为下解, 由引理5知, 存在问题(2)的解yλ使得0≤yλ≤y*.因此, 当0<λ<λ*时, 问题(2)存在一个正解yλ, 且yλ∈Ω.而当λ>λ*时, 问题(2)不存在正解.

选取I=[0,λ*+1], 则(0,λ*)∩I≠Ø, 且(λ*,∞)∩I≠Ø.下证当λ∈(0,λ*)∩I时, 问题(2)存在第二个正解.

另一方面, 由引理6知, 当λ∈I时, 问题(2)的所有正解均有界.因此, 当R2足够大时, 有deg(I-Tλ,B(0,R2),0)=c, 其中λ∈I,c为固定常数,B(0,R2)是C[0,1]上以0为心、R2为半径的球.由于对所有的λ>λ*, 问题(2)都不存在正解, 所以c=0.再由拓扑度的切除性可得deg(I-Tλ,B(0,R2)Ω,0)=-1, 因此当λ∈(0,λ*)∩I时, 问题(2)存在第二个正解.证毕.

6 应 用

例1考虑简单支撑静态梁方程

(10)

正解的存在性, 其中λ>0是一个参数,k1=-2,k2=-1,f(x,y)=ecos(x)(y2+1).

显然, 问题(10)满足本文假设条件(H1)～(H3), 此时,

对x∈[0,1]一致成立, 故满足条件(H4).这里格林函数为