设计开放性问题，提升学生数学思维品质

刘玉华 吕延芳 薛兵

[摘要] 在课堂教学中设计具有不完备、不确定特征的开放性问题有助于提升学生的数学思维品质。以高三一轮复习课中的开放性问题教学为例，设计问题时要注意精心选择，问题开放需有序、有度，教师评题要有高度;在课堂教学中让学生编题，让问题开放，让教学更有趣、有效，有品、有味，让学生更有思、有为，让课堂有变、有新。

[关键词] 高中数学;一轮复习;开放性问题

提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。由此，明确数学课程目标：“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。”[1]

在课堂教学中，老师出题学生做题，好像是教学的常态。学生习惯于刷题，但很少考虑题目是怎样来的，题目为什么这样做。为了培养学生的“四能”，笔者在课堂教学中探索让学生编题、让问题开放，这对于培养学生的问题意识起到了较好的作用。下面笔者就以在课堂教学中如何通过设计开放性问题，培养学生的数学思维，呈现策略思考。

一、学生编题让教学更有趣、有效

一提到数学题，老师出题学生做题，老师讲得天花乱坠，学生听得昏昏欲睡，这种现象屡见不鲜。如何让数学课堂焕发活力，真正激发火热的思考，让学生编题就是有效手段之一。

在高三一轮复习课“导数与函数的单调性”中，最初的教学设计是设置一道题目：（2020年全国卷Ⅰ理，21）已知函数f（x）=ex+x2-x，讨论f（x）的单调性。

经过数学组的反复研讨，教师们一致认为，若只是让学生单纯做这道题，学生不知道背后的来龙去脉，就会印象不深，也丧失了认识高考题来源的机会。高考中导数题目中的函数均源自基本初等函数，为了让学生深入认识到这一点，学会提出问题，把题目修改如下：

[例题1]将下列基本初等函数通过适当的运算得到新的函数，再研究其单调性。

（1）y=x;（2）y=x2;（3）y=ex;（4）y=lnx;

（5）y=sinx

学生积极踊跃地编出来更多的题目。例如：

（1）f（x）=ex+sinx（x>0）

（2）f（x）=ex-x-2（2020年全国Ⅰ卷文，20）

（3）f（x）=ex+x2-x（2020年全国卷Ⅰ理，21）

（4）f（x）=lnx-x（2016年全国Ⅲ卷文，21）

（5）f（x）=lnx+x2+c

（6）

（7）

（8）

（9）（2018年全国Ⅰ卷理，21）

……

让学生自己编题，学生必须自己去想从哪个角度编题，平时做过的题目有哪些类型，高考题是以怎样的形式出现的，如何编出有新意的题目，进而激活深度思维。所以，让学生编题是教学的有效途径之一，它对培养学生的问题意识，进而学会学习颇有效用。

二、教师评题让教学更有品、有味

学生编题有时是盲目无序的，很多情况下并不知道自己为什么这样编题，只是跟着感觉走，目的性不强。所以，编完题后如何处理这些题目，这就要看教师的主导作用如何发挥了。如果教师只是简单地就题论题，那会在很大程度上失去学生编题的意义。教师应该在学生思考的基础上顺势而为、点拨升华，让学生的思维上升到一个新的高度。

仍然以上面“导数与函数的单调性”一课为例，学生编出了30多道题目，教师引导学生，判断函数单调性的关键是判断其导函数符号的正负。根据判断其导函数符号正负的方法，把这些题目分为以下三种类型。

类型一：导函数的正负可直接观察确定

（1）f（x）=ex+sinx（x>0），

f '（x）=ex+cosx>0（x>0）

（2）f（x）=lnx+x2+c（x>0），

类型二：导函数f '（x）的符号可由基本初等函数单调性确定

（3）f（x）=ex-x-2（2020年全国Ⅰ卷文，20），

f '（x）=ex-1，容易看出：当x>0时，f '（x）>0;当x<0时，f '（x）<0。

（4）f（x）=lnx-x（2016年全国Ⅲ卷文，21），

，容易看出：当x>1时，f '（x）>

0;当0

（5）f（x）=ex+x2-x（2020年全国卷Ⅰ理，21），

f '（x）=ex+2x-1，可根据基本初等函数单调性观察得出，也可以二次求导确定。

设g（x）=f '（x）=ex+2x-1，则g'（x）=ex+2>0，所以f '（x）=ex+2x-1在R上是增函数。又因为f '（0）=0，所以得：当x>0时，f '（x）>0;当x<0时，f '（x）<0。

通过以上分类梳理，让学生得出判断导函数符号正负的基本思路：

通过对学生所编题目的归类梳理，教师启发引导、分析点评，引领学生深度思考，在纷繁芜杂的题目中追根溯源，总结出判断导函数符号正负的基本步骤，渗透了程序化的思想，发展了学生的逻辑推理素养，让教学变得更有品、有味。

三、问题开放让学生更有思、有为

开启学生的创造潜能，培养学生的创新意识，是当前数学教学改革的主旋律。开放性问题对学生具有挑战性，能有效激发学生的好奇心和求知欲。因此，依据教学内容恰当地设计开放性问题是体现学科宽度，培养学生创新意识的重要途径[2]。在高三一轮复习课“数列的概念”中，我们设计了这样一道題目，有效激发了学生深度思考，建构了求数列通项公式的知识网络。

[例题2]设数列{an}满足a1=1，且an+1=an+ 。请补充完整条件，并求数列{an}的通项公式。

学生编出了许多题目，主要有以下几种：

（1）a1=1，且an+1=an+1

（2）a1=1，且an+1=an+n

（3）a1=1，且an+1=an+2n

（4）a1=1，且

（5）a1=1，且

（6）a1=1，且an+1=2an

（7）a1=1，且an+1=2an+1

（8）a1=1，且an+1=2an+2n

学生在分析（1）（2）（3）（4）（5）题的过程中，会发现假如递推公式an+1=an+ f（n），只要f（n）能求和，数列{an}的通项公式便可求。对于（6）（7）（8）题，an+1=an+an+ f（n），在（6）题中，f（n）=0，就是特殊的等比数列;（7）（8）题显然用构造法，通过变形构造出特殊的等差、等比数列，进一步求通项公式，能够认识到转化与化归思想的重要性。

还有的学生在以上题目的基础上进一步思考，认为数列是对各项之间的关系进行研究，除了能对各项进行加减运算，还可以对各项进行乘除运算，又得到以下题目：

（9）（c为常数，且c≠0）

（10）an+1an=an+1-an

（11）an+1+an=c（c为常数）

（12）

（13）

……

在这个环节中学生持续地思考，不断地尝试，积极地探索，发现新的规律，得出新的结论，充分享受到了成功的喜悦，感觉到自己有思、有为。

四、问题开放让课堂有变、有新

问题是探究之本、思维之源。高三一轮复习课不是新授课的简单重复，不能一味追求高难度，基础知识是数学解题的基石，同样也是高考命题的依据。因此，从基础知识入手，把封闭的问题变开放，为学生的思维生长搭建脚手架，会让课堂发生意想不到的变化，让创新思维在课堂中生根发芽。

如教学“数列的概念”一课，通过上面题2这样一个看似简单的题目，学生多角度思考，总结出求数列通项公式的常用方法：观察法、公式法、累加法、累乘法、迭代法、构造法等。学生通过不断探索求数列通项公式的规律和方法，领悟求通项公式的本质就是转化与化归，进一步体会数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，达到“做一题，通一类，会一片”的学习效果，有效地提高了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

数学教学需要不断变化和创新，教师要善于采撷学生思维的创意，能够站在思维的高度帮助学生解决数学问题，让学生通过数学学习提高理解知识的思维能力和研究知识解决问题的能力。我们要明确，思维能力的培养才是提高数学成绩的关键，教数学就是启迪学生的思维。

五、问题开放需有序、有度

诚然，问题开放、学生编题能够激发学生的学习兴趣，强化对知识的巩固和灵活运用，但问题开放并不是每一个问题都可以开放，而应该是精心选择问题。例如，上面题2就是抓住“研究数列是通过数学运算揭示规律”这一本质特征进行设计。学生编题也不是胡编乱造，而是让学生能从一个简单的问题（最好选自教材原题）出发。例如上面题1，对基本初等函数进行不断运算，得出新的函数，深入探究问题的本质。一般情况下，一轮复习要从教材上的定义、定理等基本知识出发设置开放性问题，培養学生思维的发散性、创新性和深刻性，建构知识网络。

开放需有序。在问题开放、学生编题的初期，教师要从基础题目出发，对学生如何编题、从哪些角度编题进行适当的指导。随着学生编题能力的不断增强，视野逐渐扩大，所编的问题就会多姿多彩，编写的题目会具有灵活性、探究性、创新性等特性，学生也会对题目进行重新审视和反思，真正有效地体现学生编写习题的价值[3]。

编题需有度。编题的过程是把解题引向深入的研究过程，是探究创新的过程。让学生自主编题能促使学生把与问题相关的知识点、知识结构理解并掌握得更准、更全、更深、更透，从而达到融会贯通的境界[4]。并且，学生编题要注意根据学情控制难度和深度，适可而止，否则会事倍功半。

开放性的学生自主编题活动是一个循序渐进的过程，它的形式多种多样，旨在实现学生兴趣的提高、解题能力的提升、创新思维的发展。编题栽活知识树，开放育好数学林，让我们在这条道路上继续努力探索。

[本文系山东省教育科学“十四五”规划课题“高中数学‘一题一课’教学模式的实践研究”（项目编号：2021zc285）和滨州市“学科育人工程”研究专项课题“如何实现高中数学育人价值的研究”（项目编号：BZXKYR-216）阶段性研究成果]

[参考文献]

[1]刘忠新.“开放性”问题的多角度设计[J].中学数学教学参考，2017（17）：57-60.

[2][3]陶然.学生编题 有效创新[J].上海中学数学，2014（11）：36-37.

[4]俞昕.例谈学生自主编题探究活动[J].数学通报，2016，55（01）：31-33，37.

刘玉华   山东省滨州实验中学，正高级教师。山东省特级教师，齐鲁名师，山东省创新班主任，齐鲁名师领航工作室主持人，山东省特级教师工作坊主持人。

吕延芳    山东省滨州实验中学。

薛 兵    临沂大学数学与统计学院。