利用GeoGebra软件绘制杨氏双缝干涉实验光强的动态分布

李深远

(苏州市苏城外国语学校 江苏 苏州 215000)

1 引言

GeoGebra是一个适用于所有教育阶段的动态数学软件，软件包中汇集了几何、代数、表格、图形、统计和微积分等功能[1].相比其他几何画板软件，GeoGebra的功能更强大，界面更友好；相比MATLAB，Mathematica等软件，GeoGebra的学习门槛较低，且软件安装方便.更可贵的是GeoGebra是一个完全免费的开源软件，官方网站社区亦有大量教育工作者无偿上传各类源文件，方便其他教师参考学习.GeoGebra可以在几何、代数、表格等视图窗口间完全互联[1]，可用指令动态改变绘图元素，这一特性给教师无论是课前准备静态或动态GIF图像，还是课堂上即时使用软件演示都带来了极大便利.

杨氏双缝干涉实验是高中物理的重要知识点，笔者认为人教版教材上对该实验的阐述尚有不足：

(1)相邻两个明条纹的中心间距

仅在小角度近似条件下成立，但是教材上有意无意给出了各条明条纹中心间距相等的结论；

(2)教材忽视介绍干涉明条纹亮度是中央明条纹向两边逐渐降低[2]，学生们即使在实验中观察到这一现象往往也不明所以，而其他作者利用GeoGebra制作双缝干涉演示时也没有很好解决这一问题[3, 4].

在笔者制作的课件中将重点针对上述问题予以改进，同时在光屏与光源间绘制两个光源的波阵面，让学生更清晰地理解两个相干波阵面叠加是如何产生干涉图像的.

2 绘图过程和说明

2.1 绘制光屏上的光强分布

本例中利用GeoGebra滑动条功能设置6个可调参数，分别为两个干涉光源的振幅A1和A2；双缝到光屏之间距离l；双缝间距d；入射光波长λ和光屏上移动点p.考虑到现实中l，d，λ三者数量级差异巨大，在软件界面中无法按真实比例还原，故本例中各参数的取值范围主要侧重于演示效果，滑动条取值范围如表1.

表1 可调参数取值范围

指令栏中输入：y=0，该直线为光屏位置；

指令栏输入：S_1=(-d/2,-l)，S_2=(d/2,-l)设置两狭缝光源位置；

指令栏输入：P=(p,0)，点P为光屏上移动点；

指令栏输入：光程_1=线段(P,S_1)，光程_2=线段(P,S_2)，光程差=abs(光程_1-光程_2)，相位差=光程差/λ*2pi；

指令栏输入：I_1=(a_1(光程_1))^2，I_2=(a_2(光程_2))^2分别得到两个光源各自在光屏P点的光强参考值；

指令栏输入：M=(p,I),光强分布=轨迹(M,p)即得到光强分布曲线.

另外加入文本，箭头向量等元素完善课件.

图1中可调节屏幕左侧“光屏位置”滑动条或鼠标直接拖拽形状为“×”的动点调节该点在光屏的位置，同时文本会即时显示该点对应的光程差和相位差.例如：图1上半部分当拖拽“×”点所处位置的光程差为半波长时，相位差为180°，光强曲线上体现相消干涉；图1下半部分当拖拽“×”点所处位置的光程差为一倍波长时，相位差为360°，光强曲线上体现相长干涉.

图1 演示波强与光程差和相位差的关系

2.2 在干涉区域绘制波阵面

在双缝干涉实验中，光源在狭缝处发生衍射，狭缝和光屏间发生干涉，但在教学中往往只关注光屏处的条纹变化，学生往往对狭缝和光屏间的物理图像不甚了了[5]，对干涉是如何在光屏产生明暗条纹理解不清晰，故笔者利用GeoGebra中“序列”命令在干涉区绘制两个光源的波阵面来解决此问题.

指令栏输入：Wavefront_1=序列(圆周(S_1, i), i, 0, 100, λ)，Wavefront_2=序列(圆周(S_2, i), i, 0, 100, λ)分别绘制两个光源波阵面；

指令栏输入：y < y(S_2)||y>0绘制用作遮蔽其他区域波阵面的不等式；

属性窗口高级选项内调节所有显示对象的图层，保证波阵面所在图层序号<不等式所在图层序号<其他显示对象所在图层序号.

图2中，两个光源波阵面在干涉区叠加，产生了明暗交替的区域，对应的在光屏上产生明条纹和暗条纹，这里需要对学生详细解释：通常波阵面代表波峰位置，图上波峰叠加处“留白”较多，故产生明区域，相应的发生相长干涉光屏上产生明条纹；反之波峰交替出现的区域“留白”较少产生暗区域，发生相消干涉光屏产生暗条纹.

图2 在干涉区域绘制波阵面叠加的效果

2.3 为波阵面和光强分布曲线添加颜色

GeoGebra之所以处处强调“动态”，是因为在软件中不光图像的形状可以随调节滑动条变化而变化，甚至颜色也可以随之变化.目前调节波长λ滑动条，学生只能观察到光强分布和波阵面的变化，尚有不够直观之嫌，故笔者设法设置了让图中光源、波阵面、光强分布曲线等显示对象的颜色不再显示单一颜色，而是跟随波长取值不同而显示不同颜色.

GeoGebra提供了3种动态颜色模型：RGB，HSV和HSL，这里笔者选用HSV模型设置显示对象颜色，本例中需要实现波长参数在[0.5,1.5]范围内调节时，显示对象颜色从波长较短的紫色向波长较长的红色变化.HSV模型有3个参数：色调(H)，饱和度(S)和明度(V)，色调用角度度量，红色为0～10°，紫色为250°～310°，由于人眼不易分辨紫色和品红色，故紫色取中值280°.因GeoGebra中HSV色调栏的取值范围是[0,1)，需要把角度值280°换算为小数0.78.前文设置的自变量波长λ取值范围为[0.5,1.5],因变量色调H取值范围为[0, 0.78],两者的线性关系为

H=-0.77λ+1.16λ∈[0.5,1.5]

在波阵面和光强曲线等显示对象的属性栏中设置动态颜色为HSV，统一输入色调=-0.77λ+ 1.16，饱和度=1，数值=1.

图3中移动波长滑动条，波阵面和光强曲线都随之改变颜色，学生可以直观接受其他条件不变时，波长更短的单色光相比波长更长的单色光明条纹数量更多、条纹间距更窄这一结论.

图3 改变光源波长同时改变显示颜色的效果(上红下紫)

3 总结

本课件制作基于杨氏双缝干涉的原理，利用GeoGebra强大的作图功能，避免了复杂的计算即可演示双缝干涉实验中光强、波长、缝距和屏距如何影响干涉条纹亮度和间距.教师可在课堂上直接启动软件演示，也可在软件中导出GIF图像用于讲解(ggb和gif文件下载链接：https://www.jianguoyun.com/p/DTrLF28Q9bH3BRjCqZ8E，已经固定显示比例适配16∶9屏幕).教师也可考虑引导学生尝试独立制作课件，更有利于学生加深对双缝干涉的理解.笔者认为有条件的学校可开设GeoGebra软件的选修课，有助于培养学生自主探究的学习能力.