“环环”相扣，其乐无穷

葛浩亮

【乐学求思】同学们，你还记得三角形中位线定理是如何证明的吗？一个平行四边形的两条对角线相交于一点，分别取对角线一半的中点，再依次连接成一个四边形，那么这个四边形的周长与原四边形的周长有什么特殊的关系呢？按此规律继续构造下去，所得到的所有四边形的周长之和又会是多少呢？

例 如图1，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点……以此类推，若▱ABCD的周长为1，请用算式表示各四边形的周长之和l。

解：∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，

∴A1B1=[12]AB，B1C1=[12]BC，C1D1=[12]CD，A1D1=[12]AD，

∴四边形A1B1C1D1的周长=[12]×1=[12]，同理可得，四边形A2B2C2D2的周长=[12]×[12]=[14]，四边形A3B3C3D3的周长=[12]×[14]=[18]……

∴四边形的周长之和l=1+[12]+[14]+[18]+…

【助学变思】同学们，你知道这个l的值是多少吗？要解决这个问题，我们先要求出 [12]+[14]+[18]…的值。如图2，根据图形反映的规律，猜猜l可能是多少。

由图2可知，[12]+[14]+[18]+…无限接近于1，

所以l=1+[12]+[14]+[18]+…無限接近于2。

【展学反思】其实，对于任意的一个四边形，两条对角线相交于一点，取这个点到四个顶点的线段的中点，再依次连接成一个四边形，按此规律继续构造下去，所得到的所有四边形的周长之和会无限接近原四边形周长的2倍。同学们动手画图试试吧！

（作者单位：江苏省常州市金坛段玉裁初级中学）