富水构造区圆形隧道抗突体最小安全厚度解析解

2022-05-25肖前丰李文龙符文熹文丽娜袁星宇

工程科学与技术 2022年3期

肖前丰，李文龙，符文熹*，文丽娜，袁星宇，叶飞

(1.四川大学水力学与山区河流保护国家重点实验室，四川成都 610065；2.四川大学水利水电学院，四川成都 610065；3.云南昭通市高速公路投资发展有限责任公司，云南昭通 657000；4.四川省公路规划勘察设计研究院有限公司，四川成都 610041)

突水是岩溶区隧道工程常见的一种灾害类型，具有隐蔽性和突发性。岩溶隧道突水的地质条件和成因机制复杂。隧道掘进揭穿岩溶含水层发生突水时往往伴生突泥、塌方，危及施工安全，甚至因地表水和地下水的水力联系突变而发生不可逆的水环境灾变。中国西南地区岩溶地层分布广，岩溶隧道地下水灾害问题突出，对隧道建设安全不利。

隧道掘进前方存在富水溶腔这类含水层时，隧道掌子面与溶腔之间的抗突水岩体（抗突体）在突水发生前会经历稳定—劣化—破坏3个阶段。预留足够厚度的抗突体来抵抗富水溶腔内的水压，成为避免隧道突水灾害发生的基本保障。

国内外学者对岩溶隧道突水的抗突体最小安全厚度开展了较多研究。理论分析方面，现有研究多将抗突体简化为固支梁受力模型和四周固支弹性厚板模型，引入极限分析上限原理和结构稳定性理论，推导出岩溶隧道抗突体的最小安全厚度公式，并依托工程案例验证公式的有效性。如：郭佳奇将隧道掌子面和前方富水岩溶溶腔之间的抗突体简化为两端固支梁，假定抗突体遵循抗弯强度准则和抗剪强度准则，提出了抗突体最小安全厚度计算方法。Wu等通过建立矩形隧道截面前方溶洞存在的水和水-土两种模型，结合静力和动力理论，推导出了抗突体最小安全厚度的理论表达式。

除采用经典弹性力学理论方法外，也有学者采用离散元、有限元、有限差分等数值方法和相似材料模型试验方法，分析隧道突水灾害的发生演化过程，归纳总结出隧道突水发生的地质结构类型。王浩针对隧道前方岩溶溶洞充水工况，根据数值计算结果回归获得各因素主导下的抗突体最小安全厚度数学预测模型，并采用模型试验对试验段工况进行验证，揭示了隧道围岩应力、位移、渗压的变化规律。李浪等通过建立抗突体最小安全厚度的力学模型，采用相似模型试验方法，直观展现了岩溶水压、自重应力对突水灾害的影响规律。

然而，实际工程中隧道断面形状多样。为便于分析岩溶隧道抗突体最小安全厚度及其因素敏感性，将隧道断面考虑为圆形，将抗突体简化为周围固定和周围简支的圆形薄板，并假定抗突体遵循抗剪强度准则和抗弯强度准则。在此基础上，引入弹性薄板理论，综合考虑隧道掌子面前方富水岩溶溶腔水压力和上覆岩土体自重应力，推导抗突体剪切破坏和弯曲破坏条件下的最小安全厚度，并探讨岩体力学性质、隧道埋深、隧道开挖半径对抗突体最小安全厚度影响的敏感性，以评价掌子面前方富水溶腔的抗突体最小安全厚度的变化趋势。

1 抗突体最小安全厚度计算

保证抗突体稳定能有效避免隧道突水、突泥灾害的发生。为便于研究，将抗突体简化为圆形薄板，且受到自重应力和岩溶水压双重作用。在隧道掘进过程中，抗突体逐渐变薄，最终因无法承受自重应力与岩溶水压作用，发生剪切破坏或弯曲破坏。针对隧道掘进掌子面前方存在富水溶腔工况（图1），提出图2所示的隧道轴向方向力学分析模型。图2中，

为圆形截面隧道开挖半径，

为抗突体的厚度，

为地下水位线和隧道顶面之间的垂直距离。

图1 隧道掘进前方存在富水溶腔情况Fig. 1 Existence of a water-rich karst cavity in front of the tunnel face

图2 隧道轴向方向分析断面Fig. 2 Profile along the axial direction of tunnel

为能获得抗突体最小安全厚度理论解析解，假设：1）忽略隧道掘进开挖爆破对掌子面附近岩体的扰动，抗突体结构完整；2）抗突体连续均匀，具有各向同性、弹性、小变形的特点；3）抗突体破坏时，沿着圆形隧道边界发生剪切破坏；4）岩体服从Mohr-Coulomb强度准则；5）抗突体弯曲破坏边界条件采用四周固定和四周简支两种，不考虑自由边。

1.1 直剪破坏情况

直剪破坏情况抗突体受力分析模型如图3所示。图3中，τ为滑动面的剪切应力，

和

分别为岩溶水作用于抗突体顶端和底端的岩溶水压力。

图3 直剪破坏情况抗突体受力分析模型Fig. 3 Analytical model for direct shear failure of anti-inrushing structure

直剪破坏发生时，滑动面上岩体达到极限平衡状态的条件是剪应力τ与抗剪强度τ相等，即τ = τ。岩体满足Mohr-Coulomb强度准则，抗剪强度τ表示为：

式中，

和

分别为岩体的内聚力和内摩擦角，σ为上覆岩层作用于抗突体上的自重应力。

抗突体承受的自重应力σ可由式（2）得到：

式中， γ为覆盖岩体平均重度，

为隧道埋深。

和

按式（3）进行计算：

若抗突体不发生剪切破坏，则抗突体的抗力应至少等于受到的推力，即用式（4）判断：

式中：

为安全系数；

为直剪拉破坏岩溶水受力面积，且

={(

) |

}；

为直剪破坏抗突体侧面积，且

=2π

。

将式（1）～（3）代入式（4），得到剪切破坏条件下抗突体的最小安全厚度：

1.2 弯曲破坏情况

抗突体发生弯曲破坏同样受到梯形分布的水压作用，圆形薄板的外边界条件可分为边界简支（Ⅰ型）和边界固定（Ⅱ型）两种。

1.2.1 边界简支（Ⅰ型）

边界简支（Ⅰ型）的力学模型如图4所示。为方便计算，将梯形荷载转化为均布荷载和反对称线性分布荷载的叠加，均布荷载集度为

)/2；对称线性分布荷载在图4所示M、N两端的集度分别为

和-

，且

)/2。

图4 边界简支（Ⅰ型）力学模型Fig. 4 Boundary simply supported (type Ⅰ) mechanical model

1）在均布荷载

作用下，径向弯矩与切向弯矩分别见式（6）和（7）：

式（6）～（7）中，

为边界简支、均布荷载作用下抗突体径向弯矩，

为边界简支、均布荷载作用下抗突体切向弯矩，ν为岩石的泊松比，ρ为圆板上任意一点与原点的距离。

由式（6）和（7）可知，边界简支、均布荷载作用下，抗突体最大径向弯矩和最大切向弯矩都发生在板的中心，且弯矩相等，计算式为：

式中，

为边界简支、均布荷载作用下最大弯矩。

2）在反对称线性分布荷载作用下，圆形薄板弯矩计算过程描述如下。

线性分布荷载可写成：

式中， θ为圆板上任意一点和原点的连线与

轴的夹角。

将式（9）代入薄板弯曲的基本方程得式(10)：

式中，ω为薄板的挠度，

为抗突体圆板的抗弯刚度。

式（10）的通解见式（11）：

式中，

、

为常数。根据边界条件可以求方程中的未知常数

、

，主要边界条件为：①由于圆板为实心，要求板的中心挠度存在极限值，挠度方程应有界，则应有

=0；②圆板边界为简支条件，故边界挠度和弯矩均为0，即ω|=0，

|=0。于是，反对称线性荷载作用下的挠度方程可以写为：

式中， ω为边界简支、线性荷载作用下的挠度。

根据挠度方程式（12）求出相应的径向弯矩、切向弯矩，分别见式（13）和（14）：

式（13）～（14）中，

为边界简支、线性荷载作用下径向弯矩，

为边界简支、线性荷载作用下切向弯矩。径向弯矩、切向弯矩分别对ρ、 θ求导，可以得到圆板

和

的最大值。径向弯矩的最大值发生在θ=0和ρ=

/处，其计算式为：

式中，

为边界简支、线性荷载作用下的最大径向弯矩。切向弯矩的最大值发生在 θ =0 和ρ=

·处，其计算式为：式中，

为边界简支、线性荷载作用下的最大切向弯矩。由式（15）、（16）可知，因为

，则可以取式（15）作为最大计算弯矩

，即：

式中，

为边界简支、线性荷载作用下的最大弯矩。

因为均布荷载作用下的弯矩方程和线性荷载作用下的弯矩方程之和的导函数并非单调函数，故不易找出弯矩的最大值。出于对工程的安全考虑，将均布荷载作用下的最大弯矩和线性荷载作用下的最大弯矩之和作为边界简支情况下的最大弯矩值，故边界简支条件下最大弯矩计算式为：

式中，

为边界简支最大弯矩。

根据岩石抗弯强度，抗突体受到的最大拉应力需满足式（19）：

式中，[σ]为岩石极限抗拉强度。

将式（2）、（18）代入式（19）中，解得抗突体最小安全厚度

：

1.2.2 边界固定（Ⅱ型）

边界固定（Ⅱ型）的力学模型如图5所示。圆形薄板边界固定受到的梯形荷载处理同边界简支，计算过程描述如下。

图5 边界固定（Ⅱ型）力学模型Fig. 5 Boundary fixed (type Ⅱ) mechanical model

1）在均布荷载

、边界固定条件下，边界固定圆形薄板在受到均布荷载情况下，抗突体最大弯矩均在圆板中心，其计算式为：

式中，

为边界固定、均布荷载作用下的最大弯矩。2）边界固定、反对称线性分布荷载作用下圆形薄板弯矩计算过程描述如下。周围固定情况下的圆形薄板的挠度方程与周围简支情况相同，挠度方程同式（11），根据边界条件可以求出方程中的未知数

、

。主要边界条件有以下两点：① 圆板为实心，要求在板的中心挠度有界，则应有

=0；② 板边界为简支，边界挠度和弯矩均为0，即ω |=0，∂ω / ∂ρ |=0。将边界条件代入式（11），求出

和

：

将

、

代入式（11）求得边界固定条件下圆形薄板的挠度方程：

式中， ω为边界固定、线性荷载作用下的挠度。

圆形薄板在边界固定情况下的径向弯矩和切向弯矩方程分别记为式（24）和（25）：

式（24）～（25）中，

为边界固定、线性荷载作用下径向弯矩，

为边界固定、线性荷载作用下切向弯矩。式（24）和（25）对ρ和 θ求偏导，可以得出径向最大弯矩和轴向最大弯矩的最大值均发生在ρ=

且θ=0（或θ=π）截面上，其计算见式（26）；边界固定的最大弯矩计算式见式（27）。

式（26）～（27）中，

为边界固定、线性荷载作用下的最大弯矩，

为边界固定条件下的最大弯矩。将式（2）和（27）代入式（20），解得边界固定情况下抗突体最小安全厚度

计算式：

2 参数敏感性

2.1 参数设置

由式（28）可知，抗突体最小安全厚度与岩体物理和力学性质（岩体重度、内摩擦角、抗拉强度）、隧道开挖半径

、岩石泊松比ν、隧道埋深

、岩溶水压等相关。为了分析以上参数对抗突体最小安全厚度的影响，设置表1所示的参数和取值范围。在研究某一参数影响抗突体最小安全厚度的程度时，控制其余参数不变，基于最小安全厚度理论公式（式（5）、（20）、（28）），讨论最小安全厚度与相关参数的变化趋势。

表1 参数及取值范围
Tab. 1 Parameter value and range

类型参数名称取值范围定值隧道隧道开挖半径R/m 2～10 5围岩等级 — Ⅲ级岩体重度γ/(kN·m-3) — 24 φ围岩岩体内摩擦角 /(°) — 30岩体黏聚力c/MPa — 1.0岩体泊松比v 0.2～0.5 0.2岩体抗拉强度[σt]/MPa — 5.0隧道埋深H/m 100～1 600 100水的重度γw/(kN·m-3) — 10.0剪切型破坏岩溶水压/MPa 0～0.01 —弯曲型破坏岩溶水压/MPa 0.2～1.0 —安全系数安全系数K — 3.0岩溶

2.2 隧道埋深与抗突体最小安全厚度的关系

图6为抗突体最小安全厚度

与隧道埋深

的关系曲线。当隧道埋深厚度增大时，由剪切破坏计算的抗突体最小安全厚度逐渐减小，而按弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型的计算结果呈指数型增大。由图6变化趋势可知，当隧道埋深较浅时，按弯曲破坏公式计算的最小安全厚度比按剪切破坏计算的最小安全厚度小。因此，当隧道埋深较浅时，抗突体发生剪切破坏；当隧道埋深较深时，抗突体发生弯曲型破。对比弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型可知，抗突体最小安全厚度均随着隧道埋深的增大而增大，增大幅度相近，且弯曲破坏Ⅰ型计算结果总比弯曲破坏Ⅱ型大。

图6 抗突体最小安全厚度随隧道埋深的变化Fig. 6 Change of the minimum safety thickness of the antiinrushing rock mass with the tunnel depth

2.3 隧道开挖半径与抗突体最小安全厚度的关系

图7为抗突体最小安全厚度

与隧道开挖半径

的关系曲线。由图7可知，剪切破坏和弯曲破坏两种破坏模型计算出的抗突体最小安全厚度均随着隧道开挖半径的增大而增大。隧道开挖半径较小时，隧道埋深对抗突体厚度影响有限；隧道开挖半径较大时，隧道埋深对抗突体厚度影响显著。

图7 抗突体最小安全厚度随隧道半径的变化Fig. 7 Change of the minimum safety thickness of the antiinrushing rock mass with the tunnel radius

2.4 岩溶水压与抗突体最小安全厚度的关系

图8给出了抗突体最小安全厚度与岩溶水压的关系。从图8可以看出，随着岩溶水压增大，抗突体最小安全厚度不断增大，符合一般规律。对比图8（a）和图8（b）可得，随着岩溶水压增大，根据剪切破坏和弯曲破坏解析解计算出的抗突体最小安全厚度增幅不同，其中：剪切破坏模式下，岩溶水压较小时，隧道埋深对抗突体厚度影响有限；岩溶水压较大时，隧道埋深对抗突体厚度影响显著；在弯曲模式下无此规律。

2.5 岩石泊松比与抗突体最小安全厚度的关系

图9给出了抗突体最小安全厚度与泊松比ν的关系。分析图9可知，岩石泊松比对抗突体最小安全厚度的影响不大，隧道埋深的改变不影响泊松比对最小安全厚度的影响幅度。对比图8（b）和图9，通过变化趋势分析，岩溶水压和岩石泊松比对抗突体最小安全厚度的影响力不显著，且对抗突体最小安全厚度的影响程度基本相同。

图8 抗突体最小安全厚度随岩溶水压的变化Fig. 8 Change of the minimum safety thickness of the antiinrushing rock mass with karst water pressure

图9 抗突体最小安全厚度随泊松比的变化Fig. 9 Change of the minimum safety thickness of the anti-inrushing rock mass with Poisson’s ratio

2.6 弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型抗突体最小安全厚度差异性分析

基于表1的参数取值，图10给出了弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型最小安全厚度变化的差异，其中，图10（a）为隧道开挖半径

与弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型抗突体最小安全厚度之差的关系，图10（b）为岩溶水压与弯曲破坏Ⅱ型和Ⅰ型抗突体最小安全厚度之差的关系。

图10 弯曲破坏Ⅰ型和Ⅱ型最小安全厚度变化的差异Fig. 10 Difference of the minimum safe thickness change between type Ⅰ and type Ⅱ bending failure

由图10（a）可知：当隧道开挖半径小于约6 m时，弯曲破坏Ⅰ型的抗突体最小安全厚度大于弯曲破坏Ⅱ型计算的抗突体最小安全厚度；当隧道开挖半径大于约6 m时，恰恰相反。由图10（b）可知：当岩溶水压小于0.35 MPa时，弯曲破坏Ⅰ型的抗突体最小安全厚度大于弯曲破坏Ⅱ型计算的抗突体最小安全厚度；当岩溶水压大于0.35 MPa时，弯曲破坏Ⅰ型的抗突体最小安全厚度小于弯曲破坏Ⅱ型计算的抗突体最小安全厚度。

因此，在隧道开挖半径、岩溶水压较小时，按照弯曲破坏Ⅰ型模型计算抗突体最小安全厚度；在隧道开挖半径、岩溶水压较大时，按照弯曲破坏Ⅱ型模型计算抗突体最小安全厚度。

2.7 工程算例

宜万铁路云雾山隧道位于湖北省恩施市白果坝与屯堡乡交界地带，其中，“526溶洞”位置及工程地质剖面如图11所示。根据文献[27]和[28]可查得相关参数为：溶洞长度约为21 m，掌子面前方岩溶水压为0.8 MPa，隧道埋深约500 m，隧道开挖半径

=5 m，上覆岩层平均重度约为26.5 kN/m，岩石的抗拉强度[σ]=5.3 MPa和泊松比

=0.32。

图11 宜万铁路云雾山隧道工程地质剖面图及“526溶洞”位置Fig. 11 Engineering geological profile of Yunwu tunnel of Yiwan railway and location of “526 karst cave”

由第2.2节分析可知，在深埋隧道一般采用弯曲破坏，且弯曲破坏Ⅰ型计算结果对于工程更加保守，因此案例采用弯曲破坏Ⅰ型计算。将云雾山隧道对应参数代入式（20）得到抗突体最小安全厚度

为3.34 m，计算结果与工程实践中预留的抗突体厚度总体相同，证明本文理论是可行的。

3 讨论

针对岩溶区抗突体最小安全厚度计算，学者们普遍将抗突体假定为完整岩体，基于连续均质弹性体假设，将抗突体简化为弹性梁板，根据弯曲破坏或剪切破坏建立固支梁弯曲、厚板弯曲、岩柱剪切、突变理论力学模型，推导出最小安全厚度计算公式，如表2所示。

表2 不同力学模型抗突体最小安全厚度的计算公式
Tab. 2 Calculations for minimum safety thickness of outburst resistant body with different mechanical models

破坏类型力学模型计算公式理论基础参数意义√固支梁弯曲[7] dmin=k 12pwR2 4[σt] 连续介质梁简化受拉破坏√弯曲破坏厚板弯曲[13] dmin=k 60(1−ν2)R2 160[σt](1−ν)/pw −96ν 连续介质板简化受拉破坏pw为岩溶水压，其他符号意义同前√突变理论[29] dmin=24R3(1−ν)pw 40E 结构稳定势能突变(√)剪切破坏岩柱剪切[30] dmin=Rcot φ1−ccot φ pw+cot φ连续介质上限原理剪切破坏符号意义同前images/BZ_170_899_2139_930_2172.pngimages/BZ_170_899_2146_930_2179.pngimages/BZ_170_899_2154_930_2187.pngimages/BZ_170_899_2161_930_2195.pngimages/BZ_170_899_2169_930_2202.pngimages/BZ_170_899_2177_930_2210.png [(γwh+γwR)R2]本文结果圆形薄板弯曲 dmin=6K 8 + γwR3 24[σt]−γH弹性理论 E为抗突体弹性模量，其他符号意义同前

为了验证本文计算公式，设置隧道开挖参数，如表3所示。通过与其他理论得到的最小安全厚度计算公式对比，分析验证本文抗突体最小安全厚度计算公式（式（28））的可靠性。

表3 设置参数及取值
Tab. 3 Setting parameters and values

参数量值参数量值岩溶水压pw/MPa 0.3 φ内摩擦角 /(°) 35隧道半径R/m 5.0～8.5 黏聚力c/MPa 0.4弹性模量E/GPa 1.0 岩石容许抗拉强度[σt]/MPa 1.0泊松比v 0.275 隧道埋深H/m 100安全系数K 1.0 岩石容重γ/(kN·m-1) 20

图12为采用不同计算公式所得完整岩体抗突体最小安全厚度结果对比。由图12可知，固支梁弯曲模型计算的抗突体最小安全厚度远大于厚板弯曲模型的结果，主要原因在于，相同隧道尺寸条件下固支梁弯曲模型的最大弯矩是厚板弯曲模型的最大弯矩的2倍。随着隧道半径增大，本文结果与基于不同理论模型计算得到的抗突体最小安全厚度均不断增大。本文结果与岩柱剪切模型、厚板弯曲模型的变化率基本相同。相较于厚板弯曲模型计算出的抗突体最小安全厚度，本文按圆形薄板弯曲模型计算出的抗突体安全厚度有所减小，主要有两种原因：①本文将岩溶水压考虑为梯形荷载形式加载在岩质圆板上，而厚板弯曲计算公式将抗突体水压简化为均布荷载；②本文考虑了隧道上覆层岩石厚度的影响。

图12 不同理论模型抗突体最小安全厚度计算结果对比Fig. 12 Comparison on the calculation results of minimum safety thickness of anti-inrushing rock mass with different theoretical models