如何求不规则阴影图形的面积

顾杰超

求阴影部分图形的面积是一类常见的问题，但题目中的阴影部分常常不是以规则的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑而成的.它们的面积无法直接利用公式计算，一般我们称这样的图形为不规则图形.对于这类不规则阴影图形的面积，我们可根据图形的特点，将它们分解、转化成我们所熟悉的规则图形来求解，但在转化的过程中方法是多种多样的.现介绍几种常用的方法.

一、利用平移法求解

平移法是求解不规则阴影图形面积的一种常用方法.它是指通过对图形的平移，使图形的位置发生改变，从而使不规则图形转化为规则图形，进而达到轻松求解的目的.

例1如图1，两个半圆中，小圆的圆心O’在大⊙O的直径CD上，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分的面积等于.

分析：通过仔细观察，可以看出，较小的半圆是夹在弦AB与直径CD这两条平行线之间的，如果把较小的半圆沿着直径CD向右平移，使圆心O’与较大的半圆的圆心O重合，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面积未变.连接OB，作OP⊥AB于点P，用大半圆的面积减去小半圆的面积即可得到阴影部分的面积.

解：把较小的半圆向右平移，使其圆心O’与较大的半圆的圆心O重合，可知切点P即为弦AB的中点，再连接OB，过圆心O作OP⊥AB于点P，就可以得到Rt△PBO，如图2.

评注：本题通过小半圆的平移，使圆心O1与大半圆的圆心O重合，将一个不易求解的不规则图形面积转化为两个规则图形的面积差.

二、利用旋转法求解

旋转法是指按照顺时针或逆时针的方向，将图形的某部分绕着某一定点旋转适当的角度，使已知图形与所求图形之间能够建立起某种联系，从而找到解题的突破口.

评注：本题利用图形的特点，将图中某一部分图形进行旋转后把阴影部分组合为一个规则的图形，然后利用面积公式求解.

三、利用割补法求解

割补法是指通过对几何图形进行合理的分割和添补，把不规则、不熟悉、复杂的几何图形变为规则、熟悉、简单的几何图形.它是求不规则阴影图形面积的有效方法之一.

例3如图5，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为.

故答案為：1.

评注：本题运用了正方形性质和三角形全等的知识.通过将△QON割补到△POM的位置，把阴影图形的面积转化为规则图形的面积，从而便于求解.

综上所述，不管是平移法、旋转法，还是割补法，其实质都是通过图形的位置变换，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化繁难为容易，从而顺利解题.同学们在求解不规则阴影图形的面积时，要注意从题设出发，结合图形特征，灵活运用这些方法，有效破解难题.