概率问题常见典型考题赏析

朱云飞

概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考内容。高考主要考查随机事件与概率，考查事件的相互独立性以及概率与频率等。下面就概率问题常见典型考题进行举例分析，供大家学习与提高。

题型1：随机事件的表示

理解随机现象、样本点和样本空间的概念，理解随机事件的概念，在实际问题中，能正确求出事件包含的样本点的个数，并会写出相应的样本空间。

例1 抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数。

（1）写出这个试验的样本空间。（2）写出这个试验的结果的个数。

（3）指出事件A={（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}的含义。

（4）写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示。

解：（1）这个试验的样本空间Ω为{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2， 1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3， 1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4， 1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6， 1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

（2）这个试验的结果的个数为36。

（3）事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7。

（4）记事件B=“点数之和大于8”，则B={（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

题型2：随机事件的含义

解答此类问题，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义。

例2 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚。指出下列随机事件的含义。

（1）事件M={A1B1，A1B2，A1C1， A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1， B1C2，B2C1，B2C2}。

（2）事件N={A1B1，B1C1，A1C1}。（3）事件P={A1B2，A1C2，A2B1， A2C1，B1C2，B2C1}。

解：（1）事件M的含義是“从3双不同鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”。

（2）事件N的含义是“从3双不同鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚”。

（3）事件P的含义是“从3双不同鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚，一只是右脚，但不成双”。

题型3：事件的运算

事件的运算应注意的两个问题：一是要紧扣运算的定义，二是要全面列举同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析。在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断。如果遇到比较复杂的题目，需要严格按照事件之间关系的定义来推理。

例3 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件。例如，事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件D1={出现的点数不大于1}，事件D2={出现的点数大于3}，事件D3={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}。根据上述定义的事件，回答下列问题。

（1）请列举出符合包含关系、相等关系的事件。

（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件。

解：（1）事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1CD3，C2CD3，C3D3， C1CD3。

同理可得：事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6;事件D2包含事件C4，C5，C6;事件F包含事件C2，C4，C6;事件G包含事件C1，C3，C5。

易知事件C1与事件D1相等，即事件C1=D1。

（2）

题型4：互斥事件与对立事件

互斥事件与对立事件的判断是针对两个事件而言的。一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生;两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生。所以两个事件互斥，它们未必对立;反之，两个事件对立，它们一定互斥。

例4 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”。判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）A与C;（2）B与E;（3）B与D;（4）B 与C;（5）C与E。

解：（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。

（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件。又事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件。

（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件。

（4）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”。事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”。也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件。CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773

（5）由（4）的分析知，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件。

题型5：古典概型

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和计算公式。这类问题的解法多样，技巧性强，解题时需要注意两个问题：试验必须具有古典概型的两大特征，即有限性和等可能性;计算基本事件个数时，要做到不重不漏，可借助坐标系、表格或树状图等列出所有基本事件。

例5 同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2+ax+b=0有两个不等实根的概率为（）。

A.1/5

B.1/4

C.1/3

D.1/2

解：因为方程2x2+ax+b=0有两个不等实根，所以Δ=a2—8b>0。

同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点。

应选B。

题型6：概率的基本性质

当事件A与B互斥（ANB=）时，P（AUB）=P（A）+P（B），这称为互斥事件的概率加法公式。一般地，如果A1，A2，.，Am是两两互斥的事件，则P（A1UA2U···UAm）=P（A1）+P（A2）+···+P（Am）。若 A.B为对立事件，则P（A）=1—P（B）。求复杂事件的概率的两种方法：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率。

例6

解：

题型7：相互独立事件的判断

对于事件A，B，若满足P（ANB）=P（AB）=P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。所谓独立事件就是某事件发生的概率与其他任何事件都无关，用集合的概念解释即集合之内所有事件发生的可能性范围互不相交。通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这也是定量判断。

例7 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件A={一个家庭中既有男孩又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}。对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性。

（1）家庭中有两个小孩。

（2）家庭中有三个小孩。

解：（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形為Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，即4个基本事件。由等可能性知这4个基本事件的概率都为1/4。

由题意可知，事件A={（男，女），（女，男）}，B={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB=（（男，女），（女，男）}，所以P（A）=1/2，P（B）=3/4，P（AB）=1/2。

由此可知，P（AB）≠P（A）P（B），所以事件A，B不相互独立。

（2）有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，即8个基本事件。

所以事件A与B相互独立。

题型8：相互独立事件概率的综合应用

求较复杂事件概率的方法：列出题中涉及的各事件，用适当的符号表示;弄清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或是相互独立），列出关系式;根据事件之间的关系，准确选取概率公式进行计算。当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率。

例8

（1）假设甲，乙，丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率。

解：

题型9：频率与概率的关系

在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值。在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率。

例9 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如表1所示。

（1）求各组的频率。

（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500h的概率。

解：（1）由表可知频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042。

（2）样本中寿命不足1500h的频数是48+121+208+223=600，所以样本中寿命不足1500h的频率是6/6000=0.6，即灯管使用寿命不足1500h的概率约为0.6。

题型10：随机模拟法估计概率

随机数模拟试验估计概率时，先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果。可以从以下三个方面考虑：当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点;研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数;当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复。

例10 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率。先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功;再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果。经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907。

由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）。

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

解：由10组随机数为812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，可知4～9中恰有三个随机数的有569，989，即2组，故所求的概率为P=2/0=0.2。应选A。

作者单位：福建省厦门市新店中学

（责任编辑郭正华）CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773