计数原理及随机变量的分布列和方差单元检测卷（A卷）

刘毅

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只能去1个场馆，甲场馆安排1名同学，乙场馆安排2名同学，丙场馆安排3名同学，则不同的安排方法共有（）。

A.120种B.90种C.60种D.30种

2.为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A，B两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A，B型号口罩不合格数（I，II）的茎叶图如图1所示，则下列结论不正确的是（）。

A.估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率

B.I组数据的众数大于II组数据的众数

C.I组数据的中位数大于II组数据的中位数

D.I组数据的方差大于II组数据的方差

3.北京冬奥会于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和张家口举行。申奥成功后，中国邮政陆续发行多款邮票，图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰上运动等。现从2枚会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）。

12.新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作。已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为。该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一个小组研发成功，则该小组获得全部奖金;若两个小组都研发成功，则平分全部奖金;若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金。则以下说法错误的是（）。

A.该研究所疫苗研发成功的概率为

B.乙小组获得全部奖金的概率为

C.在疫苗研发成功的情况下，由甲小组研发成功的概率为

D.甲小组获得奖金的期望值为60万元

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分。）

13.在二项式（/2+x）°的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是。

14.植树造林，绿化祖国。某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一块抛物线形状地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，如图4所示，其中A，B，C分别与E，F，G关于抛物线的对称轴对称。现有3种树苗，要求每种树苗至少种植1棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则不同的种植方法数是。（用数字作答）

15.据某高速公路收费站统计，每年“五一”前后，每天通行车辆的数量ξ服从正态分布N（2 000，σ2），若P（ξ>2200）=a， P（1800<5<2000）=b，则的最小值为。

16.2019年下半年，新一代的无线网络技术WiFi6发布，相比于上一代技术，WiFi6采用了OFDMA技术，并支持多个终端同时传输，有效提升了传输效率。已知小明使用了支持WiFi6的新路由器，设在某一时刻，家里有n（n≥0）个设备接入该路由器的概率为P（O），n=0，P（n），且P（n）=P（0）·（1/3），1≤n≤3，那么0，n≥4，没有设备接入的概率P（0）=。

三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他題每题12分，共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）

17.（本小题10分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估。考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位。现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位，其考评分数如下。

A类行业：85，82，77，78，83，87。

B类行业：76，67，80，85，79，81。

C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82。

（1）试估算这三类行业中每类行业的单位个数;

（2）若在抽出的A类行业的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率。

18.（本小题12分）某服装店对其过去100天实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成的频率分布直方图分别如图5和图6所示。

（1）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一方销售量不低于50的天数;

（2）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率;

（3）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值（精确到0.01）。

19.（本小题12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一。若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试。在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试;若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费。某驾校对以往2000个学员第一次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到表1。

若以上表得到的男、女学员第一次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立。现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所有机会为止，请回答下列问题：

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费的概率;

（2）已知这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为ξ，求ξ的分布列与数学期望。

20.（本小题12分）随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。为了研究广大市民共享单车的使用情况，某公司在我市随机抽取了100 名用户进行调查，得到的数据如表2所示。

每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户。

（1）求抽取的4名用户中，既有“男骑行达人”，又有“女骑行达人”的概率;

（2）为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的“女骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望。

21.（本小题12分）为了让税收政策更好地为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“个税专项附加扣除”是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人六项专项附加扣除，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行。某企业为了调查内部员工对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2x2列联表（表3）。

（1）根据列联表，能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关？

（2）为了帮助年龄在40岁及以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟按员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y=1 000+700x;方案乙：y=3 000，0