考虑多谐波分量传递误差的斜齿轮非线性振动分析

王 方，吴 伟，李 超

（西安石油大学机械工程学院，西安 710065）

0 引言

齿轮传动是通过齿轮副来实现运动和动力传递的装置，在现代机械传动中被广泛应用[1-2]。在系统运行过程中，由于间隙[3]、时变啮合刚度[4]和齿轮传动误差[5-6]等非线性因素的存在，齿轮传动系统的传动精度将受到很大的影响，所以对齿轮系统非线性动力学进行研究显得尤为重要。王三民等[7]建立了含齿面摩擦、时变啮合刚度和传动误差因素的非线性动力学模型，并采用数值积分方法求得系统的周期响应和混沌响应。程欧等[8]构建了多自由度的多间隙齿轮系统振动模型，通过数值方法对系统的微分方程进行求解，分析了不同激励频率下系统的混沌特性。肖伟中、苟向锋等[9-10]通过考虑啮合刚度、复杂交变载荷、设计和制造误差等的因素，构建了在复杂激励下的三自由度斜齿轮动力学模型并通过数值积分法对动力学模型进行求解，继而在此基础上分析了齿轮参数的改变对系统动力学特性的影响。

以上文献中，学者为了计算方便，只考虑静态传递误差的一阶谐波分量，而忽略高次谐波分量。而根据实验证明，齿轮轮齿的误差激励与齿轮噪声和振动密切相关，高次谐波分量不能被忽略[11]。本文将使用Romax软件对斜齿轮传动系统进行建模，通过静力学分析得到含多次谐波分量的静态传递误差。建立了计及刚度激励、齿侧间隙和静态传递误差等非线性因素的斜齿轮系统纯扭转动力学模型，将求得的含多谐波分量的静态传递误差带入系统的状态方程，基于数值积分的方法对系统状态方程进行求解，在此基础上分析了阻尼比、负载和间隙对斜齿轮系统动力学特性的影响。

1 斜齿轮系统的动力学模型

1.1 建立斜齿轮系统的力学模型及运动微分方程

在多自由度振动系统中，仅考虑斜齿轮系统的扭转振动，不会对系统产生大的误差，其仍满足工程需要[12]。采用集中质量法可建立如图1所示的单自由度斜齿轮系统扭转型模型。其中θ1、θ2分别为主从动齿轮的扭转振动位移；R1、R2分别是主从动齿轮的基圆半径；T1、T2分别是作用在主从动齿轮上的外载荷扭矩；I1、I2分别是主从动齿轮的转动惯量；e(t)为齿轮副的传动误差；K(t)为时变啮合刚度。

图1 齿轮副动力学模型

斜齿轮传动系统基本参数如表1所示。

表1 斜齿轮基本参数

根据牛顿定律，建立单自由度斜齿轮传动系统运动微分方程：将式（2）代入式（1）可得:

由于啮合刚度系数、传动误差系数和阻尼的数量级相差较大，会对方程的求解带来不便，因此需要对方程进行无纲量化处理。定义无量纲时间τ=wet，无量纲位移无量纲激励频率w=wn/we，其中we为齿轮的固有频率，求解公式为：经过无纲量化处理过的微分方程如下：

1.2 齿轮传递误差

静态传递误差是齿轮系统发生噪声与振动的激励源之一。本文运用Romax软件对斜齿轮传动系统进行建模。其中，轴是传动系统中的重要零部件，其在工作过程中，会产生扭转或者弯曲变形，严重时会影响传动系统运行的平稳性，因此要对轴进行可靠性校核。本文所用轴的材料是45钢，许用弯曲应力为60 MPa。在输入轴端施加80 N·m的转矩，轴的转速为3 000 r∕min。

通过对轴进行静力学分析，得到输入输出轴的合成应力如图2所示。由图可知，在安装齿轮的位置，输入轴和输出轴所受的合成应力最大，其所受最大的合成弯曲应力分别为σca1=32，σca2=18，可以看出，输入轴和输出轴的最大弯曲应力都小于轴的弯曲许用应力，满足轴的强度要求准则。

图2 轴的静力学分析

通过对模型进行静力学分析得到斜齿轮系统的静态传递误差，曲线如图3所示。考虑斜齿轮啮合传动过程中的传递误差是周期性的，为了便于分析系统的动态响应，因此利用Matlab将静态误差曲线拟合成傅里叶级数的形式以便计算分析，其中所得齿轮副啮合误差展开系数如表2所示。

图3 传递误差

表2 齿轮副啮合误差系数

1.3 齿轮时变啮合刚度

本文假设沿接触线上的载荷分布均匀，此时，啮合线长度的变化和啮合刚度的变化成正比[13]，单个齿对的时变啮合刚度的表达式为：

式中：l(t)为啮合线接触长度；Kl为转换系数，Kl=Km/L；Km为平均啮合刚度；L为平均啮合线长度[14]；l(t)为啮合线接触长度。

在齿轮工作时，一般有多对轮齿参与啮合，邻轮齿的啮合点相差一个端面基节，得到多对齿啮合刚度曲线如图4所示。将同一时刻同位置上的啮合刚度进行叠加，即可获得斜齿轮的时变啮合刚度。

图4 不同齿对啮合刚度

由于啮合刚度是周期性变化的，可将啮合刚度用傅里叶级数的形式进行描述。其傅里叶展开曲线如图5所示，由图可看出，前5阶傅里叶展开曲线与原刚度曲线基本贴合，精度满足一般工作要求。展开系数如表3所示。

图5 傅里叶展开曲线

表3 齿轮时变啮合刚度系数

1.4 齿侧间隙

齿轮工作时，侧隙能够防止齿轮因摩擦或过热而产生卡死，但同时它也会造成齿间冲击，严重影响了齿轮传动系统的平稳性。侧隙[15]在动力学研究中属于强非线性因素，在进行动力学研究时不能被忽略，其函数表达式为：

式中：b为单侧齿侧间隙，它是以啮合线为基准进行测量的。

2 斜齿轮系统动态性能分析

将微分方程（5）转化为状态方程为：

状态方程中含有齿侧间隙、时变啮合刚度和传递误差等非线性因素，其求解比较困难。对于非线性方程的求解方法，常用的有解析法和数值法。由于数值方法的计算精度高且适用范围广，本文使用数值方法[16]对方程进行求解。

令w=0.85，F=5.211 3，b=4.5，ξ=0.13，将具有一阶谐波分量的静态传递误差和5阶谐波分量的静态传递误差分别带入系统的状态方程，并利用变步长Rung-Kutta数值积分方法对系统状态方程进行求解，得到系统在两种情况下的加速度响应如图6所示。由图可看出，与只考虑一阶谐波分量的静态传递误差所得出的系统加速度响应图相比，具有多阶谐波分量的静态传递误差所得出的加速度幅值较大，且波形变化较为复杂。在斜齿轮逐渐啮合并传动过程中，存在着单齿对啮合到多齿对啮合的过渡，此时系统会产生加速度突变现象，如图所示存在尖点，其是斜齿轮传动过程中形成噪声和冲击振动的首要原因。所以不能忽略静态传递误差的高次谐波分量。

图6 加速度响应

将含有5阶谐波分量的静态传递误差代入状态方程中并进行求解，得到了该响应系统的动态响应如图7所示。

图7 系统的动态响应

由图7（a）可知，系统响应的时间历程是周期性的，相比于非周期，其有利于降低系统的振动、减少系统的噪音，使系统运行平稳，进而提高斜齿轮传动系统的使用寿命。

根据图7（b）可知，斜齿轮传动系统的相平面图为一闭合曲线，说明系统是周期响应，其所得结果与时间历程图一致。

在如图7（c）所示的频谱图中，由于时变啮合刚度、误差激励和间隙非线性影响因素的存在，因此系统含有多频响应成分。

2.1 阻尼比对动态性能的影响

保持齿轮传动系统其他参数不变，在ξ∈( )0,0.5的范围内，系统随阻尼比的全局分岔图如图8所示，由图可见，随着阻尼比的增大，齿轮系统动态响应经历了从混沌、多周期运动到单周期运动状态。在阻尼比ξ＜0.04阶段，系统处于混沌状态，运动非常不平稳，且会受到较大的振动和冲击；当阻尼比ξ=0.04时，系统进入多周期运动状态，混沌状态减弱，系统的振动和冲击减小；当ξ=0.09时，系统开始平稳运行。

图8 系统随阻尼比变化的分岔图

在该过程中，系统的运动相图如图9所示，从图中可以看出，阻尼比的增大有利于弱化系统的非线。从系统傅里叶频谱（图10）中可以得知，由于阻尼比的增加，系统响应幅值明显减小，因此，阻尼比在一定程度上可以抑制响应幅值。

图9 系统相图

图10 系统FFT频谱图

2.2 负载对动态性能的影响

保持齿轮传动系统其他参数不变，负载F分别取3、5和9时，得到系统的时域图和频谱图，从时域图11可以看出，随着负载的增大，无量纲位移增大并有整体上移的趋势。从频谱图12可以看出，随着负载的增大，系统振动幅值明显增大。所以，齿轮所处的载荷状态对动力学的影响较大。

图11 系统时域图

图12 系统FFT频谱图

2.3 间隙对动态性能的影响

保持齿轮传动系统其它值不变，当间隙b分别取10、20和30时，得到系统的时域图如图13所示。从图中可以看出，随着间隙的增大，系统的无量纲位移显著增大，且具有上移趋势。所以，减小间隙有利于系统平稳运行。

图13 系统时域图

3 结束语

本文运用Romax软件对斜齿轮传动系统进行建模，通过对模型进行静力学分析得到斜齿轮系统的含多谐波分量的静态传递误差，建立了计及齿侧间隙、刚度激励和静态传递误差的斜齿轮动力学模型，将含一阶谐波分量和多阶谐波分量的静态传递误差分别带入到系统的状态方程，基于变步长Rung-Kutta数值积分方法对非线性动力学模型进行数值求解，对比所得到的加速度相应图可知，静态传递误差的高谐波分量对系统的振动有较大的影响。在考虑多谐波分量静态传递误差的基础上分析了阻尼比、载荷和侧隙对齿轮传动系统动力学特性的影响，结果如下。

（1）阻尼比的增大，有利于弱化齿轮传动系统的非线性，并能在一定程度上抑制响应幅值，有利于系统的平稳运行。

（2）在齿轮运行过程中，载荷的状态对系统的动力学特性有很大的影响。随着载荷的增大，无量纲位移增大并有整体上移的趋势，并且响应幅值明显增大。

（3）随着侧隙的增大，无纲量位移增大。减小侧隙能够在一定程度上减小系统的振动。