重视课堂教学 提升思维能力——以“两角差的余弦公式”教学为例

山东 孙 浩

英国哲学家培根说：“数学是思维的‘体操’.”数学课堂上，学生的思维就应活跃，让学生在习得数学知识的同时，养成正确的思维方式是数学教育的主要任务.结合具体数学知识进行思维训练是培养学生数学思维最基本也是最重要的形式.数学教学是数学活动的教学，而数学活动的核心是数学思维活动.在数学活动中，学生学会观察、实验和比较，提升分析、综合、抽象和概括能力，并能进行合理的推理，尝试合乎逻辑地阐述自己的思想与观点，逐渐形成良好的思维品质.

在平时教学中，大多数老师重视知识的应用，忽视知识产生、发展、形成的过程，即重视“应用”的训练，重视做题，而忽视对学生严谨思维能力的培养.在指导年轻教师参加市级优质课评比活动时，与老师们一起研讨《两角差的余弦公式》这节课的设计与处理时，老师们说：在平时教学中，我们一般都是让学生直接记住公式，然后就开始做题，根本就没有考虑如何进行公式的推导，更谈不上培养学生的思维能力.这是大多数老师平时教学的常态，在平时的课堂教学中，老师们认为只要学生能记住公式，会做题就行，公式是怎么得出来的不用管，学生也没有必要知道，知道不知道没多大差别，何必浪费学生宝贵的学习时间去讲公式的推导过程呢.

获取知识的能力比知识本身更重要.知识是客观存在的，只要有能力就能学到.但能力是不能学习和传承的，只能靠培养和领悟.现代教育最重要的不是知识本身，而是教会学生获取知识或分辨知识的能力.

知识的产生、发展、形成和应用的过程，是有章可循的，绝不是凭空产生的，它一定有其根基、有其萌发点，这就需要我们去挖掘、去探究.在教学中，只要我们有意识地去引导学生发现知识的根基和萌发点，知识的生成就会顺理成章、水到渠成.那么在课堂教学中我们应如何开启“寻根找点”的梦幻之旅呢？下面以《两角差的余弦公式》的公式推导为例，谈谈在课堂教学中如何培养学生的思维能力.

由于前面学生已经完成了对诱导公式的学习和掌握，当角α为非锐角时，我们可以借助诱导公式把角α的三角函数值转化为其对应锐角的某一三角函数值，因此我们可以借助诱导公式来求cos(α-β)的值.基于此我们只需研究当角α，β为锐角，且α>β，两角差的余弦公式的推导情况就可以了.

一、在探寻解决办法中培养学生的思维能力

数学是思维的体操,问题是思维的灵魂.在课堂教学中要善于帮助学生打开大脑的“搜索引擎”，通过合理设计问题，开启学生思维能力培养之旅.通过引入和分析，问题就呈现在学生眼前，如何借助锐角α和β的三角函数值来求cos(α-β)的值？目前我们没有现成的办法可以利用，只好去探索、去挖掘.

解决新问题的一般思路和办法，是借助学生已有的知识和经验基础.为了培养学生“寻法”的能力，笔者设计了这么一个问题：回顾以前所学知识，在哪儿接触过求一个角的余弦值呢？当时是如何求解的？引导学生从小学、初中到高中逐一回顾，寻求知识和经验基础.

(1)小学阶段我们没有接触过三角函数值问题；

(3)高中在三角函数一章中学习过任意角的三角函数.设角α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

在课堂教学中通过引导学生回顾以前所学知识，逐步探索问题的解决思路，是培养学生思维能力的有效途径.找到了知识根基，就要对知识进行对比分析，思考哪些可以用来解决问题，从而制定有效的解决办法，进一步培养学生的数学思维能力.

二、在构造转化中培养学生的思维能力

平面向量法推导两角差的余弦公式是老师们在平时教学中主要施教的方法，但是这个方法推导容易,想到难.因此在教学中必须处理清楚这两个问题：(1)如何才能想到利用向量法来推导公式呢？(2)角α和β如何与向量建立联系？只有解决好这两个问题，才能更好地提高学生的思维能力.

构造转化能力是学生解决问题的必备能力之一.向量法的推导重在“寻法”，只要让学生学会如何利用所学知识，借助已有经验来解决新问题，就能切实培养学生的思维能力.

通过分析我们可以看出，无论在初中，还是在高中，研究一个角的余弦值常用的办法是把要研究的角放在一个直角三角形中.办法找到了，我们通过引导学生思考研究以下问题，在思考研究中、在知识辨析中、在构造转化中培养学生熟练运用知识的能力，提升学生的思维能力.

(1)如何选取构造直角三角形的基本量；

(2)如何构造关于角α-β的直角三角形；

(3)探寻角α和β所在的直角三角形；

(4)如何与已知角α和β的三角函数值建立联系；

(5)寻求不同直角三角形中角α和β的三角函数值之间的关系.

构造直角三角形的基本原则是有更多的共同点，尽量把更多的已知量和求得量构造在同一直角三角形里面.根据这个原则，我们来研究当角α和β的顶点和始边重合时，两角差的余弦公式是如何推导的.

1.构造角α和β所在平面直角坐标系

以角α和β的顶点为原点，始边为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，角α和β的终边与单位圆的交点分别为P和M.

2.构造角α-β所在直角三角形

思路一:如图，过点P向OM作垂线，垂足为A，则角α-β处于Rt△OAP中，∠OAP=90°，所以cos(α-β)=OA.

思路二:如图，过点M向OP作垂线，垂足为A，则角α-β处于Rt△OAM中，∠OAM=90°，所以cos(α-β)=OA.

3.构造转化角α和β所在直角三角形

根据构造直角三角形的原则，要有更多的共同点，思路一构造的起点应该选取点P，思路二构造的起点应该选取点M.在课堂教学中，我们主要应该教给学生如何去思维，思维的源头是如何发现的，而不是直接告诉学生如何去做，让学生学会思维，提升能力.

(1)思路一的构造转化，以点P和角α为基本量构造直角三角形.如图，过点P向x轴作垂线垂足为B，与OM交于点C.在Rt△OBP中，∠POB=α，OB=cosα，BP=sinα.

(2)思路二的构造转化，以点M和角β为基本量构造直角三角形.如图，过点M向x轴作垂线垂足为B.在Rt△OBM中，∠MOB=β，OB=cosβ，BM=sinβ.

4.寻找构造另一角所在直角三角形

寻找构造要借助已经求得的量，不能另起炉灶、另辟蹊径，要借力打力、搞接力赛、打擂台赛，按照已有的量进行构造，思维之河才能顺畅，培养思维能力才能有章可循.

(2)根据“构造转化角α和β所在直角三角形”的思路二中已求得量有OB和BM，现在就要寻找角α与OB或BM所在的直角三角形.我们以OB和α为基本量构造直角三角形，过点B向OA作垂线垂足为C，在Rt△OBC中，因此可得OC=cosαcosβ，BC=sinαcosβ(如图所示).

5.构造转化推导量完成推导思路建构

由上面的分析可以看出cos(α-β)=OA，OA=OC+CA，经过上述构造转化，我们利用角α和β的三角函数值可以表示OC，下面分析研究如何推导CA.

(2)在思路二中我们分析发现，CA没有处于现成的直角三角形中，但可以推导出∠MBC=α，并且BM=sinβ，因此我们可以以∠MBC和BM为基本量构造直角三角形，过点M向BC作垂线垂足为D，在Rt△BDM中MD=AC，从而得出MD=sinαsinβ，所以OA=cosαcosβ+sinαsinβ，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

三、在严谨推证中培养学生的思维能力

数学是一门严谨的学科，它对思维能力的培养起着独特的作用，经过一定的训练，可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据.在课堂教学中我们不但要让学生能想清楚，而且要让学生能写明白.

在学生明晰了问题的解决思路和办法后，严谨的推证是培养思维能力不可或缺的重要一环.因此在教学中必须要大胆放手让学生去思考、去解决，在解决过程中优化思维，这是严密思维能力训练的必由之路.为了加深学生对推导思路再理解、再研究，使思维能力训练再上一个层次，我们有必要让学生把推导过程系统完整地整理出来.

推导过程的条理有序是培养学生严谨思维能力的必由之路，在教学中不可省略，也不可由老师用课件展示代替，要留出足够的时间让学生去写，在书写中感悟，在不断思考中内化.(1)向量法推导，(2)利用直角三角形推导的思路一和思路二，这三种推导过程要让学生全部推导一遍，不要只让学生选择其一，每一种推导方法都有对学生思维能力培养的独到作用，是不可替代的.系统整理推导过程是思维能力的深化过程，是培养严谨思维能力的有效途径.