高中物理教材中“瞬时速度”极限思想渗透的研究

肖丽芙

摘   要：探索五个版本高中物理教材中“瞬时速度”渗透极限思想内容的合理性和局限性，对比分析发现鲁科版、沪科教版、教科版、粤教版对瞬时速度的定义更加合理，鲁科版和粤教版中的例子较合理地渗透了极限思想，分析过程为优化极限思想教学提供重要启示与建议。

关键词：教材;物理教学;极限思想;瞬时速度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2022）4-0024-3

教材是學生学习的第一手资料，也是教师教学的重要资源，物理思想是关于物理学本质的深层认识，对物理知识的学习和物理问题的解决起到重要作用。教材中物理思想的呈现影响教师在教学中对物理思想的渗透，也影响着学生对物理思想的理解。极限思想是高中物理学习的第一个物理思想，理清极限思想的内涵，分析五个版本高中物理教材极限思想渗透的合理性与局限性，可为教师教学提供帮助。

1    极限思想论述

近代最早体现极限思想的是牛顿求瞬时速度时提出的流数和莱布尼茨用函数表达的切线斜率[1]，即极限思想的关键在于变量无限接近却又无法达到某个定量。当前比较广泛认同的极限的描述是来自柯西的“当一个变量逐次所取的值无限趋向一个定值，使得变量的值与该定值之差要多小就多小，这个定值称为所有其他值的极限”。史宁中教授指出，无论是微积分的计算法则还是微积分的思想核心都在于极限理论[1]。

《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》中明确提出，结合瞬时速度概念的建构，体会研究物理问题的极限方法[2]。

高中物理中极限思想的运用包括：

（1）时间间隔趋近于零用于瞬时值的求解，如瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率等值的求解;

（2）横坐标分割成无限小的间隔用于位移公式、弹簧弹性势能表达式的推导;

（3）夹角无限趋近于零用于向心加速度大小的推导以及向心加速度方向的探究;

（4）曲线运动在无限短时间内可以等效成直线运动可用于分析重力做功特点等[3]。

极限思想在高中物理中有多方面的运用，但是不同版本的高中物理教材对极限思想体现的方式不尽相同，本文以“瞬时速度”为例进行对比分析。

2    高中物理教材中“瞬时速度”渗透的极限思想

2.1    瞬时速度定义的比较

表1列出了人教版、鲁科版、沪科教版、教科版、粤教版五个版本教材中瞬时速度的定义以及瞬时速度与平均速度关系的描述[4-8]。

鲁科版、沪科教版、教科版、粤教版对瞬时速度的定义都是：物体在某一时刻或某一位置的速度[5-8]。

人教版对瞬时速度的定义是：当Δt非常非常小时，运动快慢的差异可以忽略不计时的平均速度[4]。

对两种定义进行比较，某一时刻或某一位置的速度更符合瞬时速度的本意，当Δt或Δs非常非常小的时候平均速度趋近于瞬时速度，故可以认为这时的平均速度约等于瞬时速度，但并不能说明这时的平均速度就是瞬时速度。所以，鲁科版、沪科教版、教科版、粤教版对瞬时速度的定义更加合理。

2.2    极限思想渗透的比较

根据柯西对极限的定义，瞬时速度定义中的极限思想体现在逐次所取的时间间隔无限趋近于零，使得平均速度的值与瞬时速度之差要多小就多小。因此，为渗透极限思想，教材中所举的例子应该体现时间间隔无限趋近于零的过程。

（1）人教版在定义瞬时速度后要求学生测量平均速度和瞬时速度的实验中提到，包含E点在内的间隔取得小一些，求出来的平均速度能够更精确一些。但是，“间隔取小一些”只取了一次，且取小后的时间间隔依然是有限的，没有体现无限趋近于零的过程，没有渗透极限思想。

（2）鲁科版指出，小球从斜槽滚下过程中为了精确描述小球过O点时运动的快慢，应从OA间取更小的位移，比如取OA1、OA2、OA3等，理论上可以取到“OA1、OA2…OAn”，An可以无限接近O点，体现无限接近的过程，渗透了极限思想。

（3）沪科教版举例：打点计时器打出A、E两点的时间间隔t1=0.08 s，算出平均速度可粗略地代表C点的瞬时速度，如果把包含C点的间隔再取小一点，根据B、D两点的时间间隔求平均速度更能表示C点的瞬时速度。无限接近是Δt趋近于0的过程，不应该有确定值，故此过程也没有渗透极限思想。

（4）教科版在定义瞬时速度后没有对应的例子或实验渗透极限思想。

（5）粤教版举例：一辆汽车在平直的公路上运动，点O、A、A1是运动轨迹上的点，AA1的平均速度能大致反映汽车经过A点时的运动快慢，若在AA1之间找一点A2，AA2之间的平均速度是否更精确反映汽车经过A点的运动快慢，如果选取AA3、AA4、AA5呢？粤教版在AA1之间继续取越来越靠近A点的点，引导学生思考，如果一直取下去，那这个点是否是无限接近A点，其平均速度是否无限接近其瞬时速度，渗透了极限思想。

由以上分析可知，人教版、沪科教版的例子很相似，都是分析手动拉穿过打点计时器的纸带，减小时间间隔，但减小后的时间间隔依然是一个有限的Δt，故并不能很好地渗透极限思想。鲁科版用小球从斜槽上滚下，粤教版用汽车在平直公路上行驶，之后都在两点间再取更接近待测位置的点，取这些点的过程体现了无限接近的过程，体现了极限思想。

2.3    极限思想渗透合理性的比较

人教版、鲁科版、沪科教版、粤教版中的例子都是在“时间越短（位移越小），平均速度越接近于瞬时速度”这个前提假设下进行的。然而，这个前提并不总是成立的，人教版与沪科教版是手拉纸带，拉的过程纸带的运动快慢是无规律的，0.04 s内的平均速度不一定比0.08 s内的平均速度更能反映物体在某点的运动快慢。

鲁科版中的小球从斜槽滚下的过程速度在逐渐增大，故O点为一端的位移越小越能反映小球过O点时的速度。粤教版中的汽车运动情况也是无规律的，最初间隔AA2、AA3的平均速度不一定能更精确地反映汽车经过A点的运动快慢，但只要选取的间隔足够小时，AAn越小平均速度越能反映瞬时速度。

相比之下，鲁科版和粤教版所举的例子渗透了极限思想，在这两个例子中“时间越短（位移越小），平均速度越接近于瞬时速度”的假设成立，设计更为合理。

3    启示与建议

由以上分析发现，鲁科版和粤教版两版教材在“瞬时速度”内容中渗透了极限思想，渗透方式比较隐性，需要教师认真研读课程标准、研究教材，深层次理解教材中体现的极限思想。正如史宁中教授所说的，理解极限的關键是由离散到连续[1]。瞬时速度把运动的描述上升为逐点和即时的变化，其实质是速度在时空的连续变化[9]。由此可以知道，极限思想应该体现出时间与空间上的连续性;应体现出时间（空间）间隔有限与无限趋于零的区别。虽然五版教材都运用了“时间越短，平均速度越接近瞬时速度”这个假设，但是在不确定速度变化趋势的情况下，有限时间间隔内这个假设不一定成立，在时间间隔无限趋于零时假设才成立。

渗透极限思想过程教师可以不拘泥于教材，用更多实例让学生更真切地理解极限思想的无限接近和近似。如用两千多年前希腊芝诺的“阿基里斯永远追不上乌龟”体会极限思想的无限趋近，用庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”体会极限思想的无限分割，用刘徽的“正多边形求圆的面积”体会极限思想的无限接近，也可以用“思考海平面与地球形状”“用电脑放大一段曲线，放大到一定程度后曲线可视为直线”等例子，来引导学生体会极限思想的无限近似。

教学过程中应重视教材中的极限思想，让学生意识到物理思想的重要性，并提醒学生要重视教材、研究教材、发掘教材中渗透的物理思想。

参考文献：

[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016：32.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版2020 年修订）[S].北京： 人民教育出版社， 2020.

[3]申庭庭，姜峰. 基于思想方法的高中物理教学策略[J]. 物理教师，2021，42（2）： 21-23.

[4]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第一册[M]. 北京： 人民教育出版社， 2019： 21-25.

[5]廖伯琴.普通高中教科书物理必修第一册[M]. 济南： 山东科学技术出版社， 2019： 24-26.

[6]束炳如，何润伟. 普通高中教科书物理必修第一册[M]. 上海： 上海科技教育出版社， 2019：29-31.

[7]陈熙谋，吴祖仁. 普通高中教科书物理必修第一册[M]. 北京：教育科学出版社， 2019： 11-13.

[8]熊建文.普通高中教科书物理必修第一册[M]. 广州： 广东教育出版社，2019： 15-16.

[9]朱鋐雄.物理学思想概论[M].北京：清华大学出版社， 2009：5-7. （栏目编辑    刘   荣）