具有非线性项的弱耦合半线性Moore-Gibson-Thompson系统解的全局非存在性

欧阳柏平　肖胜中

摘要：考慮了一类非线性项的弱耦合半线性Moore-Gibson-Thompson（MGT）系统柯西问题解的爆破现象。在次临界情况下，运用泛函分析和迭代方法推出了其解的全局非存在性。另外，证明了其解的生命跨度的上界估计。

关键词：非线性项;Moore-Gibson-Thompson系统;爆破

中图分类号：O175.4文献标志码：A

Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程在实际中有广泛的应用[1-3]。物理上，其可描述波在粘性热松弛流体中的传播，数学模型为

τu+u-cΔu-bΔu=0

式中：u为声速势函数，u=u（t，x）;c为声速;b为声扩散率，b=βc;τ为松弛因子，τ∈（0，β]。半群理论指出，当τ=β时，不存在半群指数稳定性。

更多半线性MGT方程解的全局存在和爆破问题等解的性态的相关研究，请参考文献[4-12]。

文献[13]考虑了如下非线性项的半线性MGT方程解的爆破问题

在次临界和临界2种情况下，作者主要利用迭代技巧和测试函数方法证明了其柯西问题解的全局非存在性，进一步推出了2种情况下其解的生命跨度上界估计。

一些文献[14-19]探讨了下面具有非线性项的弱耦合半线性波动系统解的爆破问题

本文目标主要是分析弱耦合半线性MGT系统中非线性项对解的爆破以及生命跨度的影响。生命跨度（lifespan）指的是保证解存在的时间区间最大长度[20]。与近期的工作[13]相比，本文考虑的是非线性弱耦合系统解的爆破。对于式（1）满足β=β且p=q时，弱耦合问题（1）将一定程度退化为单个的非线性MGT方程;但是当p≠q时，本文所研究的模型并不是单个方程的简单推广。由于右端弱耦合现象的出现，使得临界曲线的非对称区域研究更为复杂;而对比经典的弱耦合波动方程的研究[14-19]，由于关于时间的高阶导出现，使得无界乘子产生较大作用，同时也使得经典的反射法、迭代法均不适用。因此，本文发展的在弱耦合非线性MGT方程组中研究解的爆破准则并不是前人工作的简单推广。

另外，由于无界乘子的引入，导致无法应用Kato引理研究其解的爆破情况。因此，本文运用近年来学者提出的处理某些高阶双曲方程解的爆破问题的迭代技巧[21-27]，辅之以测试函数和相关的泛函分析方法进行研究。其中，如何选择适合的测试函数进行迭代是难点。本文通过构造恰当的能量泛函以及利用微分不等式技巧得到了其下界序列，进一步迭代，证明了非临界情况下具有非线性项的弱耦合半线性MGT系统柯西问题解的全局非存在性，以及解的生命跨度的上界估计。

1 主要结果

首先定义问题（1）的柯西问题能量解：

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（责任编辑：周晓南）

Nonexistence of Global Solutions to a Weakly Coupled Semilinear

Moore-Gibson-Thompson System with Nonlinear Terms

OUYANG Baiping XIAO Shengzhong

（1.Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China; 2.Guangdong AIB Polytechnic College， Guangzhou 510507， China）Abstract： Blow-up of solutions to the Cauchy problem for a weakly coupled semilinear Moore-Gibson- Thompson（MGT） system with nonlinear terms is considered. Nonexistence of global solutions to the Cauchy problem for the semilinear MGT equation in the subcritical case is derived by applying functional analysis and iteration methods. Additionally， an upper bound estimate of solutions for the lifespan is proved.

Key words： nonlinear term; Moore-Gibson-Thompson system; blow-up