两道CRUX不等式问题的证明与再思考

滨州学院理学院(256600) 刘金强 尹枥

山东省滨州市北镇中学(256603) 宋志敏

2020年, G.Apostolopoulo 在加拿大数学杂志CRUX MATH.中提出了一个有趣的数学问题4597, 其内容表述如下:

问题4597 设a,b,c ＞0 且a+b+c=1,证明:

本文首先给出了证明,然后在证明的基础上得到了一些比较有意义的推广形式.

证明因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以

2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=1-(a2+b2+c2).

另一方面因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+ac+bc, 又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,所以3(a2+b2+c2)≥1,即a2+b2+c2≥-1,故如此可得:当且仅当时等号成立,原命题得证.

根据上述的证明方法很容易能够证明下面的几个命题,这儿为了简便只证明命题1,其它命题从略.

命题1当a,b,c ＞0 且a+b+c=1 时,则

证明问题转化为-3,由柯西不等式知若则结论显然成立,事实上,利用柯西不等式有:

又因为a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 在此不等式两端同乘2,再加上a2+b2+c2,得: (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2),因为:(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)×3(a2+b2+c2),所以a3+b3+c3≥由柯西不等式知:故命题1 得证.

命题2当a,b,c,d ＞0 且a+b+c+d= 1 时,则有2(a2+b2+c2+d2)+≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)成立.

命题3当a,b,c ＞0 且a+b+c= 1 时,对∀k ∈N+有:a2+b2+c2+

命题4当a1,a2,··· ,an ＞0 且a1+a2+···+an=1,对∀k ∈N+有:

在同一期中,M.Bataille 也提出了一个有趣的数学问题4541,其内容表述如下:

问题4541正实数a,b,c满足abc= 1.设Sk=ak+bk+ck,求证:

本文首先给出了三种证明方法,并在最后给出了问题的几个推广.

证法1将S2=a2+b2+c2,S4=a4+b4+c4代入可得:

将abc=1 代入上式得:

再利用基本不等式有:

不难发现(S3-1)2-(1+S3)=S3(S3-3)≥0, 在S3∈[3,+∞)上恒成立,故(S3-1)2≥1+S3,不等式左右两端同时开方可得即问题得证.

证法2令f(x)=ax+bx+cx,现对其求二阶导:

可发现其二阶导恒大于零,故可判断f(x)为凹函数,利用凹函数的基本性质有:其余的步骤同证法一.

证法3利用基本不等式可得:下证:即证:(a2+b2+c2)(a4+b4+c4)≥(a3+b3+c3)2, 利用柯西不等式容易知道上式是显然成立的,故其余的步骤同证法一,这里不再赘述.

由上述证明方法能够很容易证明下面的几个命题,为了简便起见,这儿仅仅证明命题1 与命题3.

命题1正实数a1,a2,··· ,an满足a1a2···an= 1,设则数列{φ(k)}单调递减.

证明由柯西不等式可得:

所以,即故数列{φ(k)}单调递减.

命题2正实数a,b,c满足abc=1.设Sk=ak+bk+ck,则成立.

命题3正实数a,b,c,d满足abcd= 1.设Sk=ak+bk+ck+dk,则成立.

证明由基本不等式和柯西不等式可得:

由基本不等式可知:Sn≥4,故(Sn-2)2≥Sn恒成立,所以

命题4正实数a1,a2,··· ,an满足a1a2···an= 1.设则成立,其中p,q同为奇数或同为偶数.

命题5正实数a1,a2,··· ,an满足a1a2···an= 1.设则成立,其中p,q同为奇数或同为偶数.