基于模型的一类极值点偏移问题的探究

福建省福清第三中学(350315) 何灯

一、缘起

极值点偏移问题起源于2010年天津卷(理科数学第21题,本文例6),2016年(全国I卷理科数学第21 题)与2021年(新高考I卷第22 题,本文例4)又再次进入人们的视野,考查频率之高,可见一斑.此类问题以导数为背景考察学生运用函数方程思想、数形结合思想、转化化归思想解决函数问题的能力,能够很好考查学生的综合素养,更是值得深入探究的好素材.

近几年,笔者一直关注此类问题的研究,并搜集了大量相关的模考试题,进行整理分析,研究发现: 各类相关试题虽然所取的函数模型各不相同,但大部分函数模型之间可以通过适当的代换进行相互转化,从而实现多题归一.

二、基本模型

定理函数,x1,x2为两个不相等的正数,满足F(x1)=F(x2),则

证明求导得由F′(x)＞0得x ＜e1-λ,F′(x)＜0 得x ＞e1-λ, 从而F(x)关于x在(0,e1-λ)单调递增, 在(e1-λ,+∞)单调递减.不妨设x1＜x2, 则0＜x1＜e1-λ ＜x2, 令由F(x1)=F(x2)得化简得从而由基本不等式易得下面证明

综上,定理成立.

将定理中的变量做适当的代换,可得下列三个推论.

推论1函数x1,x2为两个不相等的正数,满足f1(x1)=f1(x2),则

证明分别将定理中x、x1、x2替换为x2、x21、x22,λ替换为2μ, 得F(x2)= 2f1(x)、F(x21)= 2f1(x1)、F(x22)=2f1(x2),式①经上述代换即为式②.

推论2函数f2(x)=x(λ-lnx),x1,x2为两个不相等的正数,满足f2(x1)=f2(x2),则

证明分别将定理中x、x1、x2替换为得由式①得化简可得式③.

推论3函数为两个不相等的实数,满足f3(x1)=f3(x2),则

证明分别将定理中x、x1、x2替换为ex、ex1、ex2, 得F(ex)=f3(x)、F(ex1)=f3(x1)、F(ex2)=f3(x2),式①经上述代换即为式④.

三、模型应用

例1(泉州市2022 届高三质检第22 题)已知函数

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若(ex1)x2= (ex2)x1,且x1,x2＞0,x1≠x2,证明:x21+x22＞2.

分析由(ex1)x2=(ex2)x1得x2(lnx1+1)=x1(lnx2+1), 即令定理中λ= 1, 由式①可得其中即x21+x22＞2.

例2(雅安市2022 届高三质检理数第21 题)已知函数

分析g(x)=lnx-2ax+2,由g(x)=0 得2a,则在定理中令λ= 2,由式①可得其中即

例3(保定市2021-2022 学年联考第22 题)已知函数

(1)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

(2)若实数x1,x2是方程f′(x)= 0 的两个不等实根,证明:x1x2＞e.

分析由f′(x)= 0 得则在推论1 中令μ= 0, 由式②可得此不等式链包含待证不等式x1x2＞e.

例4(2021年新高考I卷第22 题)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:

分析由blna-alnb=a-b得即令则问题转化为f(x1)=f(x2), 求证2_＜_x1+x2＜e.令推论2 中λ= 1, 由式③得即2＜x1+x2＜e.

例5(龙岩一中2021-2022 学年半月考第22 题)设函数

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明:2a ＜x1+x2＜1.

分析由条件可证0＜a ＜e,要证明2a ＜x1+x2＜1,只需证明由f(x)= 0 得a=-xlnx,从而-x1lnx1=-x2lnx2, 令推论2 中λ= 0, 由式③可得即

例6(2010年高考天津卷理科第21 题)已知函数f(x)=xe-x(x ∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称,证明: 当x ＞1 时,f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2＞2.

分析令推论3 中λ= 0, 由式④得即x1+x2＞2.

例7(清远市2021-2022 学年质检第22 题)已知函数f(x)=ex-1-a(x-1).

(1)讨论f(x)的零点个数;

(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2＞4.

分析由条件得令推论3 中λ=0,分别将x、x1、x2替换为x-1、x1-1、x2-1,由式④得即x1+x2＞4.

四、结束语

每年的高考数学试题,命题者总在稳中求变、求新,突出试卷设计创新,优化试卷结构、创新设计理念、变换题型和设问方式、改变试题的排列顺序[1].年年岁岁花相似,岁岁年年题相同,试题虽然常考常新,但是万变不离其宗,对于一类问题,如果能够牢牢抓住其本质的部分,那么不论其如何改变,均可从容应对,泰然处之.

在平时的学习中,问题的正确求解,只是让学生看到一棵棵的“树木”,但做好解后反思、题型归类、方法总结,却能够使学生见到一片片的“森林”.教师应有意识的引导学生养成勤反思、勤归纳、勤总结的习惯,久久为功,点点滴滴汇聚成学生的数学核心素养.