用Excel解决高中物理中的复杂问题

2022-05-07林辉庆

物理通报 2022年4期

林辉庆

（杭州市余杭高级中学浙江杭州 311100）

高中物理研究的主要是可以通过简单运算得出结果或能较方便地求出解析解的问题.对于复杂的很难甚至无法求出解析解的问题，一般是直接给出结论，或只作定性分析，或回避.学生具有强烈的求知欲，迫切希望了解这些复杂问题的答案以及答案是如何求出的.高一信息技术课程学习的Excel工具，具有函数功能、计算功能、图表功能，以及由于单元格的关联（即某个或某几个单元格的计算结果可以作为别的单元格中的函数的自变量）具有的简单编程功能，我们能用它编写简单程序，通过微元数值计算求得高中物理中某些复杂问题的数值解或图像解.

1 示例一单摆周期公式准确度的研究

高中教科书在证明摆角很小时单摆近似做简谐运动后，直接给出周期公式.学生关心用这个公式计算出的单摆周期在不同摆角下的准确度如何.要回答这个问题，必须求出不同摆角时单摆的实际周期T′，与用公式计算出的周期T作比较.

由机械能守恒定律求得摆球从最大偏角θ0处运动到偏角θ处的速度为

从理论上讲，求出了摆球在圆弧上各点的速度，就能进一步求得单摆的实际周期T′，但由于速度v与θ的关系较复杂，T′与θ0的关系不能用中学数学中的初等函数表示.教科书曾直接给出θ0=15°时，T与T′的相对误差约为0.5%［1］.下面用Ex cel工具设计一个微元数值计算的程序，求摆角为15°时T与T′之间的相对误差.

将最大偏角θ0到竖直位置θ=0之间的弧分成很多圆心角为Δθ的微元.第一个微元中心的偏角，第二个微元中心的偏角θ2=θ1-Δθ，第n（n＞1）个微元中心的偏角

建立如图1（a）的Excel工作表.在第一行的A1，B1，C1和D1单元格分别输入θ，cosθ，x和Δy作为各列所代表的量.θ0=15°取Δθ=1°.在第二行的A2单元格输入θ1的值14.5°，B2单元格为cosθ与A2单元格关联.由式（3），C2单元格与B2单元格关联；由式（4），D2单元格与C2单元格关联.第二行的单元格分别为

A2=14.5°，B2=cos（A2*π／180），C2=SQRT（2*B2-2*cos 15°），D2=1／180／C2

接着，A列利用式（2），下一单元格与上一单元格关联；B，C，D列的关联关系同上.第三行的单元格分别为

A3=A2-1，B3=cos（A3*π／180），C3=SQRT（2*B3-2*cos 15°），D3=1／180／C3

此后各行单元格的关系重复前一行单元格的关系，形成了一个完整的计算程序.

选中第三行的全部单元格，将光标移到右下角，当光标呈实心“+”字状时，按住鼠标左键向下拉到第16行，得到全部计算结果.选中Δy列的数据求和得到y≈0.466 9，如图1（b）所示.

图1 用Excel计算单摆周期

将Δθ取更小的值，摆球运动时间的计算值会更准确.取Δθ=0.1°，用同样方法求得y≈0.491 0.取Δθ=0.02°，求得y≈0.497 2.取Δθ=0.015°，求得y≈0.497 7.可见，当Δθ小到0.015°，求得的y值到小数点后第三位都是准确的.将y≈0.497 7与0.5比较，相对误差为0.46%.这正是教科书给出的数值.

2 示例二在变化磁场中导体棒运动情况的研究

在学习电磁感应时，学生经常求解导体棒在恒定磁场中运动的问题，在这种问题中只有动生电动势.常有好学的学生问，如果导体棒在随时间变化的磁场中运动，电路中既有动生电动势，又有感生电动势，这种问题如何求解？例如下面的问题.

如图2所示，水平光滑U形框架左边接有R=1 Ω电阻，框架两臂的距离为l=0.1 m，质量m=0.01 kg的导体棒垂直框架两臂，与左端的距离也为l.框架所在的空间在距离左端为2l的范围内（虚线左侧）有竖直向上、磁感应强度大小为B0=1 T的匀强磁场.除电阻R外，其他电阻不计.t=0时刻开始，磁感应强度大小B随时间以变化率为k=1 T／s均匀减小，减小到零后保持不变.试求导体棒的运动情况.

图2 磁场、导体框架装置

容易判断出导体棒向右运动.设t时刻导体棒离开初始位置的距离为x，速度为v，此时回路中的感应电动势为E=kl（l+x）-Blv.由欧姆定律I=，安培力公式F=BIl和牛顿第二定律F=ma，得到棒的加速度

其中B与时间t的关系为

理论上，由式（5）和（6）两式就能求出导体棒的运动情况，但由于x，v，B都是变化的，所以a也是变化的.而某时刻的x和v又是由此前各时刻的a决定的，所以这是一个复杂的非线性问题，很难求出它的解析解.下面用Excel工具设计一个微元数值计算的程序，求解导体棒运动情况的数值解，并作出运动图像.

建立如图3所示的Excel工作表.

图3 导体棒运动数值解

在A1，B1，C1，D1和E1单元格分别输入t，B，x，v和a作为各列所代表的物理量.在第二行的A2，B2，C2，D2和E2单元格分别输入初始值0，1，0，0和0.1.利用式（7）～（11）将有关的单元格相关联.第三行的单元格分别为

此后各行单元格的关系重复前一行单元格的关系，形成了一个完整的计算程序.

选中第三行的全部单元格，将光标移到右下角，当光标呈实心“+”字状时，按住鼠标左键向下拉到第22行，得到全部计算结果，如图3所示.由“插入”中的“散点作图”功能，作出导体棒的x-t图像和vt图像如图4所示.

图4 导体棒的运动关系图

3 用Excel解决物理中的复杂问题的基本步骤

通过上述两个例子，可以总结出用Excel解决高中物理中的复杂问题的基本步骤如下.

第一，分析原理列出方程.分析物理过程或现象，根据有关的物理规律写出方程，由这些方程从理论上就可以求出这个复杂问题的解.示例一中，由式（1）求出摆球在各个位置的速度，在理论上就能算出周期；示例二中，由式（5）和（6）两式在理论上就能解出导体棒的运动情况.

第二，设计微元计算程序.将物理过程或现象中的自变量分成很多等大的微元.微元的大小需要根据问题的精确度要求确定.在微元内，将某个描述状态变化的物理量看作不变，然后根据第一步列出的方程和与看作不变的物理量有关的公式，写出由微元的初始状态量或过程量计算微元的末状态量或下一个微元过程量的关系式.示例一为式（2）～（4）这3式，示例二为式（7）～（11）.这一步需要考虑假设哪个量不变和如何计算能减小误差.在示例一中，计算对应微元Δθ的时间Δt，取速度保持圆弧中点时的值不变，比取速度保持圆弧起点时的值不变，所得结果的误差要小.在示例二中，计算导体棒在微元Δt内的位移Δx，认为加速度不变用匀加速运动的公式计算，比认为速度不变用匀速运动计算，所得结果的误差要小.

第三，输入微元计算程序.建立Excel工作表，在第一行各单元格输入有关物理量的符号.物理量从左到右的排列顺序，需要考虑由各单元格的关联关系；一般地说，前一单元格的计算结果为后一单元格计算所需要，上一行单元格的计算结果为下一行单元格的计算所需要.在第二和第三行各单元格输入初始状态物理量的数值和由第二步中设计的计算微元中各物理量的关系式，形成一个完整的计算程序.

第四，运行程序得到结果.选中第三行的全部单元格，将光标移至右下角，当光标呈“+”状时，按下鼠标左键向下拖动，得到计算结果.这就是问题的数值解，如果需要某两个物理量之间关系的图像，选中这两列物理量，用“插入”中的“散点作图”功能，可在屏幕上得到需要的图像.

高中物理中，天体的运动轨迹［2］、抛体受与速度成正比或与速度平方成正比的阻力作用时的运动轨迹、电容器的充电电流和放电电流、LC振荡电路中的电流等问题，都可以用Excel工具设计微元数值计算程序，得到数值解或有关图像.