混合方幂的华林-哥德巴赫问题的例外集

朱豆豆

(华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州 450046)

0 引言

混合幂Waring-Goldbach问题主要研究将正整数n表示为

其中，

θ(k)=

2012年，李太玉[5]将例外集的上界改进为

2018年，刘志新等[3]将结果改进为

此外，Kumchev等[6-11]在这类问题的研究中取得了重要结果．同时，一些新的方法也发展起来，为此类问题的研究提供了一般方法．本文主要应用圆法并结合文献[12]的思想得出结果．

1 预备知识

首先介绍一下本文用到的一些记号和术语．

为了清晰地说明定理1的证明思路，下面给出一些必要定义．

对于k=1，3，5，7，定义

设

则对任意Q>0，有

取

(1)

定义主区间M和余区间m如下：

(2)

其中，

则

进一步，设

记

(3)

则有命题1成立：

其中S(n)是由(3)定义的奇异级数.该奇异级数绝对收敛且对于任意的偶数n和某个固定常数c*，有

0

(4)

I(n)定义为

命题1的证明将在第三节给出，对奇异级数性质的讨论将在第四节给出．定理的证明还需要如下引理：

首先定义可乘函数ωk(q)如下：

对于整数k≥3和集合A⊆(U，2U]∩N，定义

(5)

引理1[12]对于γ∈R以及X≤U，定义

则L(γ)≪X2U-k(logU)Ak，其中ck和Ak是依赖于k∈N的常数．

引理2[12]对于1≤a≤q≤Uk21-k以及(a，q)=1，定义

M(q，a)={α：|qα-a|≤Uk(21-k-1)}，

设M是区间m(q，a)的并,取

假设G(α)和h(α)是周期为1的可积函数，g(α)=gA(α)如(5)定义，m⊆[0，1)是一个可测集，则

引理3若P，Q满足(1)，余区间m如(2)定义所示，则

这里α满足条件:

因为对于Q*的选取满足Q*

这两种情况均有q(1+N|λ|)≫P，所以

最后的≪只依赖于(1)中的P的选取．

2 定理1的证明

由命题1，

记

根据引理3，对应的

则

由于

其中M如引理2中定义所示，则应用引理1可得

J0≪Lc．

则

因此

3 命题1的证明

在证明命题1之前，首先引入一些符号．当k=1，3，5，7时，对于Dirichlet特征χmodq，定义

其中δχ=1或者0取决于Dirichlet特征χ是否为主特征．

现在引入Dirichlet特征，对于(a，q)=1，根据Dirichlet特征的正交性，容易得到

定义集合Lj(j=1，2，…，16)如下：

若j=1,2,…，16，则Lj分别为{1，3，5，7}、{1，3，5}、{1,3,7}、{1，5，7}、{3，5，7}、{1，3}、{1，5}、{1，7}、{3，5}、{3，7}、{5，7}、{1}、{3}、{5}、{7}、{∅}.

(6)

其中

这里I1可以用常规方法估计，需用到如下引理：

引理4[14]当(a，q)=1时，对于Dirichlet特征χmodq，有

引理5对于k=1，3，5，7，设χkmodrk是原特征，χ0modq是主特征，r0=[r1，r3，r5，r7]，则

(7)

证明通过引理4可得

则式(7)左侧

接下来估计I1．对于k=1，3，5，7，根据文献[15]引理可得，

(8)

将(8)代入I1得

(9)

由估计

(10)

并且令r0=1，由引理5，(9)中的余项

因此，式(9)可表示为

(11)

为了证明命题1，仅需证明对于j=2，…，16，

下面用文献[16]中的迭代方法估计I2，…，I16的贡献．为此，对于k=1，3，5，7，设

关于Jk(g)和Kk(g)的估计，有如下结论：

引理8当P，Q满足条件(1)时，有J1(1)≪NL-A．

引理 6～8的证明与文献[17]中的引理的证明类似，在此略去.

首先从I16开始估计，这是最复杂的一项．

其中，χ0modq是主特征，r0=[r1，r3，r5，r7]．

对于k=1，3，5，7，当q≤P，Xk

在最后一个积分中运用柯西不等式，则

因为r0=[r1，r3，r5，r7]=[[r1，r3，r5]，r7]，[r1，r3，r5]=[[r1，r3]，r5]，应用引理6、引理7及引理8可得

(12)

在对I2，…，I15估计时，需结合由(8)，(10)得出的以下估计：

利用处理I16类似的方法可得：

(13)

结合(6)(11)(12)(13)，命题1得证．

4 奇异级数

首先给出本节所需引理．对于k≥1，定义

引理9[18]若(p，a)=1，则

引理10对于(p，n)=1，有

(14)

证明记式(14)左侧为S，通过引理9，有

若k∈{3，5，7}，有|Ak|=0，则S=0．否则，

由引理9知三重的外部和不超过

((3，p-1)-1)((5，p-1)-1)
((7，p-1)-1)≤48项．

因为对于主特征χ0modp，T(χ0)=-1，所以

引理11设L(p，n)为下列同余方程的解的个数：

则对于任意的正偶数n，有L(p，n)>0．

证明

其中

由引理9，

所以当p≥18时，|Ep|<(p-1)4，因此L(p，n)>0．当p<18时，可以直接核对,知L(p，n)>0．

引理12A(n，q)是关于q的可乘函数．

证明由(3)知,只需证明B(n，q)是关于q的可乘函数．设q=q1q2，(q1，q2)=1，则

(15)

因为(q1，q2)=1，则

(16)

把(16)代入(15)，得

引理13设A(n，q)如(3)所示，则

(2)存在一个绝对正的常数c*>0，对于任意的正偶数n，有

S(n)≥c*>0．

证明由引理12知B(n，q)是关于q的可乘函数,因此，有

(17)

(18)

记R(p，a)：=C3(p，a)C5(p，a)C7(p，a)-S3(p，a)S5(p，a)S7(p，a)，则

(19)

|A(n，p)|≤|μ(p)·c2p-2|≤c2p-2．

(20)

另外，若直接运用引理4，则

因此

(21)

令c3=max(c2，6720)，则对于无平方因子的q，

因此，由式(18)可得

则引理13中(1)式成立．又由引理12可得，

(22)

由式(20)，

(23)

又由式(21)知

(24)

另外，由引理11知,当n为正偶数时，对于任意的p有L(p，n)>0．因此

所以

(25)

结合(22)～(25)，令c*=c4c5c6>0,则

S(n)≥c*>0．

5 结语

由引理13即得奇异级数S(n)绝对收敛且有式(4)成立，结合第三节论述可知在主区间上有命题1成立．由命题1及第一节相关论述可得结论