周期随机Gompertz模型的最优收获策略

王凤筵

(集美大学理学院,福建 厦门 361021)

0 引言

可更新资源的优化管理和自然资源可持久开发有着紧密的关系,许多学者对此进行了研究：文献[1]从经济学和生态数学方面总结了可更新自然资源的优化管理及策略；考虑到季节变化等周期因素，文献[2]研究周期的Logistic方程的收获策略，得到了周期收获系统的最大承受生产量；文献[3]研究了自治的Logistic方程的常数和比例周期脉冲收获策略，得到了2种收获方式的最大承受生产量；文献[4]研究了基于时滞的Logistic阶段结构方程建立的捕食食饵收获系统比例收获策略，得到了收获系统的最大承受生产量。考虑到种群的生存环境总是受到各种随机的不确定因素的影响，因此,很多学者研究了随机种群系统的最优收获问题。基于随机Logistic收获模型的研究是经典的生物数学问题，文献[5]研究了随机Logistic收获模型

dx(t)=x(t)(b-h-ax(t))dt+σx(t)dBt，

(1)

单种群增长的Logistic模型和Gompertz模型是生物数学和经济学中2个重要的数学模型。目前，研究Logistic模型有很多的文献，但是研究Gompertz模型的文献很少，主要是因为，当用依时间平均的概念研究随机单种群增长的Gompertz模型时,就会遇到无法克服的困难。因此，考虑到季节周期变化的因素，本文研究下面的周期随机Gompertz比例收获模型的最优收获策略:

dx(t)=x(t)(b(t)-h-alnx(t))dt+σx(t)dBt,

(2)

其中：x(t)表示t时刻的种群密度；b(t)>0为T-周期函数，表示相关种群周期季节变化种群内禀增长率；T>0表示季节变化周期；h≥0表示对种群的比例收获努力量；σ表示白噪声强度；Bt是标准布朗运动。

1 预备知识

定理1[9](It公式) 设x(t)(t≥0)是It过程,其随机微分为dx(t)=f(t)dt+g(t)dBt,其中:f∈L1(R+,Rn);g∈L2(R+,Rn×m)。若V(x(t),t)∈C2,1(Rn×R+;R),则V(x(t),t)仍然是It过程,具有如下随机微分：dV(x(t),t)=Vt(x(t),t)dt+Vx(x(t),t)dx(t)+0.5dxT(t)Vxx(x(t),t)dx(t)。

定理2 对任意给定的初值x(0)=x0>0,系统(2)存在唯一全局正解x(t),有

(3)

证明在方程(2)中作代换u(t)=lnx(t)，应用It公式可得：du(t)=x-1(t)dx(t)-0.5x-2(t)(dx(t))2=(b(t)-0.5σ2-h-au(t))dt+σdBt。因此得到：因此，由u(t)=lnx(t)可以得到x(t)=eu(t)。这个解x(t)=eu(t)在t∈(0,+∞)都有意义且有x(t)>0。证毕。

为了研究随机解的均值,需要引理1～引理2。

(4)

(5)

应用上面的结果,经过如下运算可以得到

(6)

证毕。

v′(t)=b(t)-av(t)。

(7)

(8)

(9)

应用定理2、引理1和引理2,可得定理3。

定理3 对任意给定的初值x(0)=x0>0,系统(1)正解x(t)、Ex(t)和Ex2(t)为

(10)

(11)

2 主要结果及其证明

节1得到了方程的全局随机正解和解的均值的表达式,下面讨论系统的稳定性。

定理4 方程(2)是依均值的平方全局吸引的，且对于任意给定系统(2)的2个解x(t)、y(t)，对应的初值为x(0)=x0>0,y(0)=y0>0,有如下的估计：

(12)

定理5 方程(2)的解x*(t)是依均值的平方全局吸引的,其中x*(t)为

(13)

并且x*(t)有如下性质：

(14)

定理6 方程(2)是随机持久的。

其次,证明系统(2)随机下方有界。任意给定系统(2)的解x(t),考虑x-1(t)。由式(11)和式(14)可得

证明由定理6,对于任意的比例收获努力量h∈(0,+∞),系统(2)始终是随机持久的。由定理3,期望承受依时间平均生产量Y(h)表达如下:

(15)

下面用例子模拟随机周期Gompertz模型的解均值平方全局吸引性。考虑随机周期Gompertz模型(T=4)，即

dx(t)=x(t)[0.2(1+0.5 sin(πt/2))-0.02-0.1 lnx(t)]dt+σx(t)dBt。

(16)

由图1a可以看出,随机周期系统(16)(σ=0.05)的3个不同初值出发的随机解相互吸引到同一随机轨道；由图1b可以看出,确定周期系统(16)(σ=0)的3个不同初值出发的解相互吸引到同一周期轨道。