绝对重力仪国际比对方法

冯金扬，吴书清，李春剑，王启宇，牟丽爽，粟多武

1 中国计量科学研究院, 北京 100029

2 国家市场监管总局 时间频率与重力计量基准重点实验室, 北京 100029

0 引 言

重力加速度（以下简称“重力”）测量在地球物理、大地测量、测绘、资源勘探、科学研究、计量科学等领域有着广泛的应用（Faller, 2002; Kibble and Robinson, 2007; 刘冬至等, 2007; 张为民等,2008; Crossley et al., 2013），其测量对象是重力加速度量值，为了确保重力观测结果准确可靠和国际互认需要开展相关的计量工作. 重力测量仪器包括绝对重力仪和相对重力仪，其中绝对重力仪用于直接测量重力加速度绝对值，可以作为计量标准器对相对重力仪进行定期校准，是目前普遍用于陆地、海洋、航空、卫星重力测量的各类相对重力仪的“标尺”. 绝对重力仪是重力量值溯源和传递的主要工具和载体，目前国际上有基于经典光学和原子干涉法两种测量原理的绝对重力仪，其测量精度已经达到了微伽（1 μGal = 1×10-8m/s2）量级（吴书清和李天初，2021）.

绝对重力仪的测量结果能溯源到国家长度基准“米”和时间频率基准“秒”，同时需要通过不同层次的比对活动来验证. 1981年至今，国际上一直由国际计量委员会（CIPM）和国际大地测量协会（IAG）共同组织全球绝对重力仪国际比对（ICAG），以确保重力加速度数据可溯源至SI单位制. 另外，各个区域计量组织（RMO）也在积极开展区域性绝对重力仪国际比对（RICAG）. 国际上开展重力比对的目的是通过计量领域的关键比对（KC）验证关键比对数据库（KCDB）中公布的校准和测量能力（CMCs），同时允许其他地球物理、大地测量、计量等领域学者和工作人员通过测量比对得到参比重力仪的等效度，检查仪器是否工作正常. 国际比对通常分为两个部分，其中关键比对是由签署了《国家计量基标准和国家计量院颁发的校准和测量证书互认协议》（CIPM-MRA）的国家计量院或其授权的实验室（NMI/DI）参加，负责建立和维护重力关键比对参考值（KCRVs），其他研究机构可以通过参加研究性比对（PS）溯源到KCRVs. 根据国际计量委员会—质量及相关量咨询委员会（CIPM-CCM）和国际大地测量协会（IAG）共同发表的声明（CCM, 2014），通过国际比对得到比对点位的重力参考值和参加比对的绝对重力仪的等效度（DoE），各个国家的重力测量能力可以建立在参加关键比对的绝对重力仪或举办重力关键比对的点位上，进而实现重力量值传递，从而确保用于地球物理科学研究、大地测量、计量科学的重力加速度数据可溯源至SI单位制.

全球绝对重力仪国际比对自1981年开始至今每4年举办一次，是全球最高层次的比对活动.2009年，国际计量委员会将绝对重力仪国际比对列入国际KC名录，这充分显示了重力量值在计量领域的重要性. 迄今为止分别于2009年、2013年和2017年开展三次全球关键比对活动（Jiang et al.,2012; Francis et al., 2015; Wu et al., 2020），主要集中在欧洲区域. 近年来，区域性绝对重力仪国际比对（RICAG）日益兴起，各个RMO通过主办RICAG与ICAG在比对结果上建立链接，有利于各个国家绝对重力仪基标准装置实现就近溯源. 其中，以欧洲区域绝对重力仪国际比对最为活跃，从2003年开始，欧洲区域的绝对重力仪国际比对在全球比对活动期间每隔4年举行（Francis et al.,2012; Pálinkáš et al., 2017; Falk et al., 2020）. 此外，北美洲区域第一次绝对重力仪国际比对于2015年在美国科罗拉多州举行（Newell et al., 2017），而亚太区域第一次区域比对由中国计量科学研究院（NIM）于2015年在北京举办. 下一届ICAG预期将于2023年在美国国家标准与技术研究院（NIST）举行，伴随着欧洲、亚洲、美洲等各个区域绝对重力仪比对中心的建设，未来RICAG将在重力计量工作中发挥更大的作用.

尽管绝对重力仪国际比对活动发展历史久远，但是随着绝对重力仪研制及计量能力的提升，比对技术仍在不断发展完善. 中国计量科学研究院先后主办了第一届亚太区域绝对重力仪国际比对和第十届全球绝对重力仪国际比对（ICAG-2017），本文将结合主导国际比对活动的经验，介绍绝对重力仪国际比对的组织工作和结果评估方法.

1 比对的准备及组织

1.1 比对的准备

计量领域的国际比对需要由国家计量院或其授权的实验室提前向CIPM-CCM申请，选址需符合比对点要求，选取的比对点具备良好的地面振动条件，远离振动源、电磁等干扰，且周边无大型质量迁移，实验室可以提供激光波长和原子钟频率的校准能力. 比对活动正式开始前，主导实验室需要组织完成地理信息测试（经度、纬度、海拔、重力梯度、潮汐模型等）等工作. 下面以ICAG-2017为例进行介绍.

ICAG-2017是在NIM的北京昌平园区进行的，位于世界文化遗产著名的十三陵自然保护区内，远离城市和工业噪音. 如图1所示，比对实验室有两个隔振地基，共有10个点位，每个地基的尺寸为9 m×5 m，深度为4 m，重约400吨. 隔振地基通过12 m长的混凝土支柱直接连接到稳定基岩上. 两个隔振地基的高度差为0.3 m，可产生约80 μGal的重力差值. 隔振地基提供了非常“安静”的理想测试环境，振动噪声非常低，整体振动的均方根误差（RMS）在10 Hz处优于1×10-6m/s2，比对实验室温度变化为±0.5 ℃.

图1 地下比对实验室的隔振地基和点位示意图Fig. 1 Scheme of pillars and sites at the underground comparison station

垂直重力梯度（VGG）利用相对重力仪进行测量，参照国际计量局（BIPM）主导的2009年ICAG的测量流程（Jiang et al., 2011），在所有比对点的4个不同垂直水平测量的重力差计算得出.比对实验室位处半山腰，由于紧靠山体且处于地下空间，重力值随高度的变化呈现出非线性变化规律，利用二次多项式模型能更好地反映各比对点的垂直重力随高度的变化关系（Liu et al., 2020）. 考虑二次多项式模型时，不同高度h1和h2之间的重力差可表示为：

式中，b、c、σb、σc和σbc分别为一次项系数、二次项系数及它们的标准差和协方差.

梯度测量对相对重力仪的测量重复性要求较高，根据动态误差可以评估仪器的性能，对各仪器多次重复测量结果进行加权，得到最终的垂向梯度系数.表1所示为根据Scintrex CG-6#S032、ZLS Burris#B095和ZLS Burris#B101三台不同相对重力仪在4个高度的观测值，采用二阶多项式拟合模型计算出所有地点的相对重力.

表1 用于比对的9个点位的垂向重力变化二阶多项式系数（修改自Wu et al., 2020）Table 1 Coefficients of second order polynomials for vertical gravity changes at the 9 sites used for the comparison（modified from Wu et al., 2020）

主导实验室需要至少提前半年开展超导重力仪（SG）或其连续观测重力仪的长期观测，并根据观测数据计算得到更准确的潮汐模型参数. 同时，为了避免比对期间由于环境变化对重力值的影响，建议在国际比对期间利用超导重力仪进行持续重力变化监测. 图2所示为ICAG-2017期间GWR iGrav#012K观测到的经潮汐、极移和大气效应校正后的重力变化和气压变化. 尽管超导重力仪的标称漂移率很小，年变化率小于2 μGal，关键比对通常仪器数较少，适当增加比对点数目可以实现在两个星期内完成比对，超导重力仪本身的漂移引入的误差可以忽略.但是考虑到为了支持国际上PS仪器溯源，国际比对周期会相应增长，整个比对活动通常持续1～2个月或更长，漂移率引入的误差会增加，需要考虑仪器本身的漂移率影响. 图2中去除了-0.51 μGal/a的仪器线性漂移，该漂移率通过长期的超导和绝对重力仪同址观测结果计算得到.

图2 ICAG-2017（KC+PS）期间GWR iGrav#012K观测到的重力（经潮汐、极移和大气效应校正后）和气压变化（修改自Wu et al., 2020）Fig. 2 Gravity variation （after the corrections of tides, polar motion and atmospheric effect） and air pressure observed by GWRiGrav#012K during ICAG-2017 （KC+PS） （modified from Wu et al., 2020）

除了提供激光和原子钟的常规校准服务外，为了准确评估激光干涉型绝对重力仪的衍射校正性能，采用CINOGY公司的CinSquare自动M2测量仪器（Cinology technologies GmbH制造）提供了束腰直径测量服务（Wang et al., 2019）. 表2给出了参加比对的几台FG5型绝对重力仪的束腰直径测量结果及计算得到的重力测量修正值. 由表2可见，FG5-X#253和FG5#214的束腰直径接近厂家推荐值，重力修正值均为（1.1±0.1）μGal，表明其测量光束处于良好状态. FG5#215由于修改了干涉仪结构，其束腰直径为4.09 mm，修正值为（2.4±0.1）μGal，尽管修正量较大，但不确定度很小. 针对FG5#301和FG5-X#254两台仪器，测得的束腰直径与厂家推荐值差异较大，分别为（2.85±0.17）mm和（3.37±0.25）mm，相应的修正值为（4.9±0.6）μGal和（3.5±0.6）μGal. 经过调节光路进行优化后，它们的束腰直径分别增大到（6.07±0.11）mm和（4.96±0.15）mm，对应修正值分别为（1.1±0.1）μGal和（1.6±0.1）μGal，衍射校正引入的分散性大大降低.

表2 不同绝对重力仪的束腰直径和相应的衍射校正结果（修改自Wang et al., 2019）Table 2 The results of the beam waist diameter of different absolute gravimeters and the corresponding diffraction correction （modified from Wang et al., 2019）

1.2 比对的组织

比对活动需要在指导委员会（SC）指导下开展，首先依据《CIPM MRA-D-05 of the CCM》（CIPM MRA-D-05, 2016）起草技术协议（TP），其中详细规定了比对活动应遵循的程序，包括注册参加方、比对点情况介绍、测试流程及时间表、提供数据报告、不确定度评估要求（含不确定度评估样表）等. 比对前，该协议需经所有参比方同意和CIPM-CCM批准.

由于重力场是随时间和空间发生变化的，而且绝对重力仪不可能在同一时间和同一地点进行观测，因此绝对重力仪的比对需要依据一个有效的观测计划，控制在一定时间范围内在一定数量的观测点位上进行，继而通过数据处理实现约定高度和约定时间的比对. 实际的观测方案取决于参加比对的仪器数量和可用的点位数量，需要满足任意两台参加比对的仪器至少在同一个点位能进行直接比对，同时每个点位测量的仪器数量尽可能多，以保证点位参考值的准确度.

以往的国际比对每台仪器测量点位数为3个，但2017年为了提高点位的测量准确性，每台仪器测量4个不同的点位. 最终ICAG-2017中参加关键比对的仪器一共13台，使用了9个重力点位. 测量过程中根据点位的实际占用情况对观测计划进行了实时优化，实际测量安排如表3所示，每个比对点最终有4～7台KC仪器进行了测量.

表3 KC绝对重力仪测量点位安排表Table 3 Site occupations for the KC absolute gravimeters

2 比对数据处理

2.1 数据预处理

绝对重力仪测量结果是各仪器在指定测量时段内、被测点位特定高度处测得的平均重力加速度，并根据TP约定对地球物理效应（潮汐、大气质量变化、极移）和所有已知仪器效应进行了校正.为了进行比对，在空间上需要使用比对前后测得的垂直重力梯度，将比对实验室提供的测量原始结果（graw、uraw）转换为比对参考高度的观测结果. 如果比对期间有连续监测的超导重力仪，可以进一步用残余重力变化进行重力随时间变化的校正.

值得注意的是，在引入研究性比对测量结果进行计算的时候，由于非NMI/DI实验室不要求提供完整的不确定度评估表，因此主导实验室在进行数据处理时，需要考虑加权平均可能对整体结果带来的影响. 此时，主导实验室可以根据以往比对的经验做出合理的假设，以目前比对中主流的绝对重力仪为FG5系列重力仪为例，从历次比对中公布的测量不确定度来看，同一类型重力仪的非NMI/DIs公布的不确定度约低20%. 因此，在最终数据处理时需要对FG5/X重力仪给出的测量不确定度进行调整. 这种调整尽管可能牺牲了部分非NMI/DI实验室仪器的观测精度，但是从测量结果的准确性角度，可以保证总体观测结果的权重更接近真实情况. 根据NMI/DIs为FG5-X重力仪声明的不确定度，确定了其平均不确定度为2.4 μGal，低于该值的其他FG5-X重力仪的不确定度均放大到2.4 μGal.

2.2 观测模型

使用转化至1.25 m比对参考高度的观测结果及其相关不确定度作为输入，进行全局加权最小二乘拟合（LSA）. LSA中的权重利用重力观测值的不确定度来计算，其中为单位权重.重力仪“i”（具有系统误差δi）在“k”点处建立的观测方程如下：

式中，εik是随机误差. 输出是所有位置的拟合g值Gk（代表KCRV）和每个仪器的偏差δi（数值等于DoE，这里认为比对过程中仪器偏差不变）.

针对绝对重力仪关键比对，以往采用KC仪器的观测结果来计算KCRV，为了增加最小二乘拟合的鲁棒性，2017年比对采用了所有仪器（包括NMI或DI和非NMI或DI）在不同点位的重力测量差值作为相对观测结果，进行了综合平差. 以4个点位测量为例，可以形成6个相对观测值. 这种方法的依据是非严格评估的绝对重力仪可能存在系统偏差，可能会引起重力参考值的误差，但是如果仪器本身有很好的稳定性，其相对测量结果有利于消除对总体平差均值的影响，同时还能提高整个观测系统的稳定性. 这在区域比对中尤为重要，因为区域比对的KC仪器数量会明显减少，增加相对观测方程有利于提高平差精度.

2.3 约束方程

由于观测方程组没有唯一解，因此需要增加约束条件，可解释为一致参考值的定义（White,2004）. 绝对重力测量中的参考值，与真实值未知的比对中的参考值类似，是通过限制参与实验室重力仪的偏差获得的. 加权约束方法被用于2009年、2015年、2017年和2018年的比对数据处理，其约束方程为:

2011年和2013年的比对采用的是非加权约束条件：

在CCM关键比对中，式（3）中的链接转换系数l通常被视为零. 然而，在必须与CCM比对相关联的区域比对中，严格地说，l应计算为提供关联的重力仪在CCM比对中获得的偏差（加权）平均值. 此时，各权重之和必须为1.

2.4 符合性检验

最后，测量结果需要进行符合性验证，通常利用归一化偏差En值进行判定，其定义如下：

即两个估计值的差值与差值的扩展不确定度（k= 2）之间的比值.En大于1的结果表明这两个值是不相容的，因为它们的差异不能被它们的不确定度所覆盖. 这意味着两个值中的一个计算出错，或者评估的不确定度太小.

2.5 等效度和短期复现性评估

国际比对的重要作用是建立NMI/DI仪器的DoE，可以反应参加关键比对仪器之间的一致程度，可以定量地用参与KC仪器的测量结果与KCRVs之间的偏差以及偏差的不确定度表示. 实际比对中，参加KC仪器的等效度由各个点位的测量偏差加权计算得到：

而仪器的短期复现性可根据不同点位各次测量结果gjk与参考值Gj之差值计算得到，用各测次偏差的标准差σk来表示. 对于PS仪器而言，系统误差会导致仪器测量结果存在示值误差，可以通过数据平差直接得到，与参照DoE进行加权计算得到的结果一致.

3 比对结果与讨论

比对结果最终需要给出根据关键比对仪器确定的点位KCRV，以及各个参加KC的实验室仪器的等效度，作为该实验室CMC的认证水平，结果收录在BIPM的KCDB中. 对于研究性比对仪器，同样可以得到DoE，溯源到KCRVs. 表4汇总了自2009年以来在最近的全球和区域关键比对的基本情况. 可见，重力国际比对在实现重力仪的溯源方面发挥着越来越重要的作用. 纵观历年比对的结果，FG5系列仪器的性能具有显著的优势，其仪器重复性误差均在仪器标称的2 μGal范围内. 由于仪器使用过程中可能会引入系统偏差，导致比对仪器，尤其是参加研究性比对的仪器其测量结果En值超限，可见研究和提升绝对重力仪的计量特性非常重要，对于参加KC仪器的无效测次需要予以剔除，以免影响KCRVs；对于参加研究性比对的仪器，尽管其绝对观测结果不参与到KCRVs的综合平差，但通过比对及时发现自身仪器系统偏差，对大地测量研究及应用中提升观测数据的准确性具有重要指导意义. 这里值得说明的是，2016年美洲区域比对SIM.M.G-K1链接仪器仅一台，但是为了保证链接的有效性，此后的区域比对要求链接仪器数不少于两台.

表4 自2009年以来，由质量和相关数量咨询委员会（CCM）组织的ICAG和RICAG关键比对活动Table 4 List of key comparisons of ICAG organized by the Consultative Committee for Mass and Related Quantities （CCM） and RICAG since 2009

另一方面，尽管比对已经发展了40年，包括2009年开始举办了三次关键比对，但是比对方法仍在不断完善，Pálinkáš等（2021）在对近年来全球比对和欧洲比对的结果进行重新整理后提出，对于实现链接的重力仪，可以通过CCM和区域比对结果来比较仪器的偏差程度来表征链接的质量，如图3所示，尽管不同的约束条件会引起系统偏差，但不会影响两次相邻比对的偏差. 根据上述特性，可以指导我们测试用于链接的绝对重力仪是否足够稳定，以保持其从CCM到区域比对（通常在几年后组织）的相对偏差. 在理想情况下，所有差异应保持在重力仪的重复性范围内. 从图3可以看出，只有在2018年，在CIPM比对一年后组织欧洲区域比对时，才进行了适当的链接. 相比之下，可以清楚地看到，2009～2011年期间，FG5-209和FG5-215的偏差之间的相互差异发生了变化，与2013～2015年期间的FG5-215和FG5-221类似. 因此，将KC结果的链接转换系数2011年、2015年和2018年的比对结果分别设置为0.0 μGal、0.0 μGal和（-0.78±1.26）μGal. 2015年的比对结果使用了+0.32 μGal的链接转换系数，但链接质量较差，应遵循2011年的方法取l=0.

图3 2011年、2015年和2018年区域比对中提供链接的KC重力仪与CCM比对结果（2009年、2013年和2017年）中的偏差之间的差异，可代表比对的链接质量. 其中误差棒来自重力仪的重复性. 注：系统效应（自吸引、衍射）的校正并未统一（修改自Pálinkáš et al., 2021）Fig. 3 Quality of the link carried out at comparisons in 2011, 2015 and 2018 is expressed as differences between biases from KC solutions at regional and CCM comparison （in 2009, 2013 and 2017） of those gravimeters that provide the link. Error bars have been determined based on repeatabilities of gravimeters. Note Correction for systematic effects （self-attraction, diffraction） was not unified between comparisons （modified from Pálinkáš et al., 2021）

4 总结与展望

当前国际国内重力测量及计量工作的重要性日益凸显，由于重力加速度计量基准无法定义在自然界某个基本物理常数上，绝对重力仪国际比对在未来仍然是重力溯源的重要手段. 随着ICAG-2017绝对重力仪国际比对的成功举办，我国建立了国家绝对重力量值溯源的基标准体系，以确保国内绝对重力和相对重力测量结果的准确、统一和与国际测量数据的一致. 国际上计量机构和大地测量机构共同致力于推进重力测量结果的准确和可靠，以提升国际重力参考网的准确度，未来在紧扣大地测量机构应用需求方面，明确计量研究方向，能更好地推动重力计量技术的发展. 在绝对重力仪国际比对方面，持续增强我国举办大型国际比对的能力，建设亚太区域计量比对中心，能更好地提高我国在全球计量科学领域的影响力和话语权. 在国内，绝对重力仪、相对重力仪、海空重力仪等仪器需要全面推进其国产化的研发进程，打破仪器研制技术壁垒，更好地服务于国民经济及国防建设.