具弱界面粘结磁电弹性层合梁的非线性静力分析

2022-04-28郑玉芳康崇春高杰陈昌萍

福州大学学报（自然科学版） 2022年2期

郑玉芳, 康崇春，高杰，陈昌萍

(1. 福州大学土木工程学院，福建福州 350108； 2. 厦门理工学院土木工程与建筑学院，福建厦门 361024)

0 引言

磁电弹性(MEE)复合材料具有正、逆磁电效应，相比于传统的压电材料和压磁材料，具有更高的磁电耦合性能. 这些材料被广泛用于智能复合材料结构中. 同时，由于加工工艺中的不足或结构长期处于复杂的工作环境，磁电层合结构的层间界面的粘结性能容易减弱甚至完全丧失，其结果将改变结构中位移场、应力场、电势场和磁势场的分布，对其力学性能产生负面影响. 因此，研究具弱界面粘结磁电弹性层合梁的非线性力学行为具有重要的意义.

Wang等[1]采用状态空间法和传递矩阵法，推导了多层磁电弹性圆板在简支边界条件下静态响应的三维解. 朱炳任等[2]研究材料的体积分数、高跨比和非局部参数对MEE层合梁弯曲行为的影响. Chen等[3]应用渐进变分法，研究MEE层合板的非线性静力学行为的影响. Zhang等[4]利用高阶剪切变形理论和von Karman非线性应变，研究材料的叠层顺序、温度对MEE层合梁的非线性静力学的影响. 刘宝汉等[5]采用弹簧型耦合界面模型模拟非完美界面，研究含非完美界面的双层压电/压磁复合材料中裂纹尖端应力强度因子. Kuo等[6]利用微观力学方法，研究具界面缺陷的磁电复合材料的力学行为. Kuo等[7]应用广义线弹簧模型，研究具弱界面粘结MEE层合板的静态行为. Kong等[8]研究非理想界面对结构的磁电耦合效应的影响. 王禾翎[9]讨论了弯曲界面、裂纹和界面粘结对MEE复合材料性能的影响. 由于对受损界面间复杂的磁电耦合效应很难精确描述 , 从研究成果来看，关于具弱界面粘结磁电弹性材料结构的非线性力学研究成果相对较少.

本文基于Soldatos精确应力分析的广义五自由度梁理论、von Karman非线性理论和Hamilton原理，通过引入静力平衡方程、静电和磁静力学的Maxwell方程的通解，建立具弱界面粘结MEE层合梁的非线性平衡微分方程，利用Galerkin方法对其进行求解. 讨论界面粘结强度对具弱界面粘结MEE层合梁的位移、应力、电势和磁势沿梁厚方向分布的影响.

1 基本方程

图1 磁电弹性层合梁结构示意图 Fig.1 Schematic diagram of magneto-electro-elastic laminated beam

如图1所示，磁电弹性层合梁，长为L，厚度为H，由N个厚度相同的正交各向异性磁电材料单层组成.用zr(r=1，2，…，N-1)表示层合梁中第r个界面的位置，位于层合梁中第k层与第k+1层之间(k=1，2，…，N).

基于Soldatos精确应力分析的广义五自由度梁理论[10]和层间界面剪切模型[11]，当忽略法向位移改变量，磁电弹性层合梁内任一点的位移场、电势场和磁势场可设为：

(1)

式中：u和w分别表示在x和z方向上的位移；Φ和Ψ分别表示层中的电势和磁势；u0和w0表示层合梁中面上相应点的位移；u1为层合梁中面上相应点的横向应变；φ和φ为层合梁中面上相应点的电势和磁势，下标“, ”表示对变量求偏导.位移分布形函数f(z)、电势分布形函数g(z)和磁势分布形函数p(z)反映了u1、φ和φ沿z方向变化的形式，且满足以下的约束条件[12]：

f(0)=0，g(0)=p(0)=1，f, z(0)=1，g, z(0)=1，p, z(0)=1

(2)

对于弱界面，层间应力分量τxz、电位移分量Dz和磁通量分量Bz连续，而面内位移分量u、电势Φ和磁势Ψ不连续.则在第r个界面，位移改变量Δu(r)、电势改变量ΔΦ(r)和磁势改变量ΔΨ(r)可以用待定分布形函数的不连续性给定，即

(3)

式中：上标r(r=1，2，…，N-1)表示第r个界面；k和k+1表示与r界面有关的第k层和第k+1层.

根据von Karman几何非线性理论，位移-应变的关系表示为：

(4)

根据Maxwell理论[13]，电场强度与电势和磁场强度与磁势之间的关系为：

Ex=-Φ, x=-gφ, x，Ez=-Φ, z=-g, zφ，Hx=-Ψ, x=-pφ, x，Hz=-Ψ, z=-p, zφ

(5)

第k层正交各向异性磁电弹性材料的本构关系为：

(6)

式中：σx和τxz为应力分量；εx和γxz为应变分量；Di和Bi分别为电位移分量和磁通量分量；cij、eij、εij、qij、dij和μij分别为弹性系数、压电系数、介电系数、压磁系数、磁电系数和磁导率.

在界面粘结强度变弱的初始阶段，设弱界面具有以下的线性非耦合性质[14]，即

(7)

根据Hamilton变分原理，得：

式中：A为中面面积；q为梁承受的横向载荷，且取q(x)=q0sin(πx/L).

由式(7)和(8)，得到具弱界面粘结MEE层合梁的非线性控制平衡方程为

(9)

式中：

(10)

引入如下的无量纲参数：

(11)

式中：对于材料不同的多层梁，cmax、emax、εmax、qmax、dmax和μmax为各种材料中弹性刚度系数、压电系数、介电系数、压磁系数、磁电系数和磁导率的最大值.

将式(4)、式(6)和式(10)代入式(9)，并应用式(11)，得到具弱界面粘结MEE层合梁的无量纲非线性控制方程为：

(12)

式中：

(13)

2 具弱界面粘结简支磁电弹性层合梁的形函数

由于界面的复杂性，一般研究假设界面本构关系具有线性非耦合的性质，忽略非线性项的影响[14-15]. 第k层梁的待定形函数f(z)、g(z)和p(z)应满足应力表示的平衡方程、静电和磁静力学的Maxwell方程，即

σx, x+τxz, z=0，Dx, x+Dz, z=0，Bx, x+Bz, z=0

(14)

设u0,u1,w0,φ和φ为以下满足简支可动边界条件的位移模式：

(u0,u1)=(A1,A3)cos(αx), (w0,φ,φ)=(A2,A4,A5)sin(αx),α=π/L

(15)

将式(15)代入式(14)，并利用式(4)～(6)，得:

(16)

假设待求形函数为：

F(k)(z)=A3f(k)(z),G(k)(z)=A4g(k)(z)，P(k)(z)=A5p(k)(z)

(17)

式(16)可以看成关于待求形函数F(k)(z)、G(k)(z)和P(k)(z)的二阶常系数非齐次线性微分方程组，方程组的解由满足齐次线性微分方程组的通解和一个满足方程组的特解组成.通过消元法可求得齐次线性微分方程组的通解和通过待定系数法得到非齐次线性微分方程组的特解，则第k层待定形函数可以表示为：

(18)

m1λ6+m2λ4+m3λ2+m4=0

式中：

对于弱界面粘结条件下，界面处剪应力τxz、电位移Dz和磁通Bz在各层界面处连续，即

(19)

应用式(4)、式(5)、式(6)、式(15)和式(18)，得到：

(20)

对于弱界面粘结条件下，界面处位移u、电势Φ和磁势Ψ不连续，应用式(3)、式(7)、式(15)和式(18)，得到：

(21)

(22)

由磁电条件得，在闭路条件下：

Φ(1)|z=-H/2=Φ(N)|z=H/2=0,Ψ(1)|z=-H/2=Ψ(N)|z=H/2=0

(23)

(24)

式中：上标“mp”表示中性层(z=0)所在的第k(mp)层梁. 由式(18)和式(24)可得到形函数f(k)(z)、g(k)(z)和p(k)(z)的表达式.

3 数值结果与讨论

对于两端简支的磁电弹性层合梁，选取的位移、电势和磁势的解为：

(25)

将式(25)代入非线性平衡方程(12)，应用Galerkin方法，并取一阶截断，则非线性微分方程组转化为含有fu0、fw0、fu1、fφ和fφ的非线性代数方程组进行求解.

为了验证本文模型和方法的正确性，将本文模型退化为理想界面的磁电弹性层合梁结构(BaTiO3/CoFe2O4)，并取文献[13]中的材料参数和几何参数. 图2和图3分别给出了两端简支磁电弹性层合梁中点电势和磁势沿厚度的变化规律，并与文献[13]中的数值结果进行对比. 从图中可以看出，本文得到的数值解与文献的数值解吻合较好，验证了本文模型和方法的正确性.