高考数学试卷中概率与统计内容的分析与思考

张玉琴，王文静

(1.成都理工大学工程技术学院，四川乐山，614000；2.太原师范学院，山西太原，030619)

一、研究背景

联合国教科文组织颁布的报告《走向终身学习——每位儿童应该学什么》反复强调加强核心素养的培养，其涵盖了一个转变七个维度。[1]其中，一个转变是指，教育应由工具性目标(把学生培养成提高生产率的工具)转变为人本性目标，学生情感、智力、身体、心理诸方面的潜质与素质都能通过学习得到发展；七个维度包括身体健康、社会情绪、文化艺术、文字沟通、学习方法与认知、数字与数学、科学与技术核心素养。随着时代的发展，大数据已经深入各个领域，数据处理、数据挖掘、数据分类等对人们的工作、生活及国家发展都产生了重要影响，且概率与统计是数学与科学技术中大数据的基础理论知识，对认识和了解大数据、学习方法与认知、数字与数学、科学与技术有很大的帮助。要想从充满随机性和相关性的数据中获取有用的信息，就需要有扎实的概率与统计知识基础。同时，近年来，概率与统计这部分内容在教学中逐渐得到重视，成为高考数学试卷考查的重点、难点、热点。笔者在对《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称课程标准)[2]中概率与统计内容的具体要求进行解读的基础上，对近几年新课标数学全国卷Ⅰ中的概率与统计内容和相关文献成果进行研究，以期更好地帮助教师合理分配教学时间，使用简单易懂、高效的方法进行教学，进而提高学生的学习效率，使学生不畏惧概率与统计这部分内容的学习。

二、对课程标准中概率与统计知识的解读

概率是指对随机现象规律进行的研究，其研究手段为在分布已知的情形下对随机事件发生的可能性进行度量(一般以0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小)，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，也为统计的发展提供了理论基础。统计到研究如何收集、整理和分析数据，旨在通过对从总体中得到的样本进行分析推导总体的未知参数或分布，为制订决策提供合理的依据。因此，高中阶段这两部分内容有着非常重要的意义。高中数学涉及这两部分内容的教材为人教版必修3和选修2-3，其内容在课程标准中的具体要求如表1所示。

表1 概率与统计各部分内容在课程标准中的具体要求

续表

课程标准中对概率与统计这部分内容的要求不仅在于学生对知识进行理解，而且要求学生能够掌握及灵活运用知识。因此，在教学中，教师不能让学生的思维固化，而要让学生吃透知识的本质，领会具体思维模式，并在此基础上发散思维，灵活运用知识点，解决高考中的实际问题。

三、2015—2021年高考数学试卷中概率与统计内容基本情况的分析——以新课标数学全国卷Ⅰ为例

高考数学试卷中，概率与统计内容的考查是课程标准对概率与统计内容具体要求的直接体现。[3]如表2所示，2015—2021年高考数学试卷中关于概率与统计的内容考查以选择题和解答题为主，偶有填空题型，分值比例在11.33%—18.00%。

表2 2015—2021年高考数学试卷中概率与统计内容的基本情况

(一)考查题目的位置后移，类别及其分值比例增加

2015—2017年的高考数学全国卷Ⅰ均有一道概率与统计内容的选择题和一道解答题，分值比例均为11.33%，且位置相对稳定，没有大的变动，仅2017年选择题稍微前置。2018年和2019年均增加了一道填空题，分值比例也上升至14.67%，同时选择题及解答题的位置均发生后移。2020年和2021年分值比例上升至18%。其中，2020年改为两道选择题、一道多项选择题、一道解答题；选择题位置稍微前移，解答题又移回第19题。2021年，继续改进一道选择题、一道多项选择题、一道填空题、一道解答题；选择题稍微后移，解答题又向前移动，移动到第18题。综上所述，概率与统计内容在高考中的考查力度越来越大，也越来越受到命题人重视。

(二)考查的知识点相对稳定，创新度和综合性增强

由表2可知，2015—2017年高考数学全国卷Ⅰ中考查的概率与统计知识点相对稳定，主要涉及排列组合、古典概型、几何概型中概率的求解、分布列的求解、数学期望的求解、统计决策、回归分析、假设检验等内容。但是，此类考题的创新度和综合性不断提高，与其他高中数学内容横向贯通。 例如，2017年中的第2题和2018年中的第10题与平面几何知识交会；2018年中的第20题与导数知识交会；2019年中的第21题与等比数列知识交会；2020年的第12题与对数函数交会。

(三)图表考查情况减少

2015年和2016年中的概率与统计内容大题分别涉及散点图和柱状图，之后的年份均未出现图表。2020年给出的表格主要是为了展示数据。

(四)试题背景素材越来越丰富

近几年的试题均具有新颖的情景，不仅贴近生活、应用性强，而且以数学文化为背景。以生活和数学应用为背景进行的考查在近几年高考试题中均有出现，而以数学文化为背景进行考查则是从2017年开始出现的，且均为选择题。如2017年中的第2题、2018年中的第10题、2019年中的第6题。试题的背景素材在不断创新，且向数学文化方向延伸。试题内容注重生活、贴近时事，且每题中都有体现。如2020年中的第19题、2021年中的第18题。综上所述，近年来的试题背景开始更贴近实际生活、应用性更强，侧重反映国家的时事，让学生从不同的角度关注国家时事，体现了数学知识的应用。

(五)核心素养的考查从单一化转变为多样化

2015年和2016年高考数学全国卷Ⅰ中关于数学核心素养的考查还仅局限于对数学运算能力的考查，但自2017年新课程标准颁布以来，高考越来越重视对数学核心素养的考查，具体包括对逻辑推理素养、数据分析素养、自学素养和数学运算素养的考查，且2018年中第20题还涉及数学建模素养的考查。概率与统计这部分内容在高考中越来越受重视，分值比例和试题数目均提高，题型更丰富、知识更贯通、综合性更强、试题素材创新度更高、对核心素养的考查更多样化。因此，在日常概率与统计内容的教学工作中，教师应加强教研工作，集中备课，发挥自身积极主动性和发散性思维，把课程思政、时事引入数学教学，引导学生利用数学方法解决实际问题，让学生充分理解并学会灵活运用这部分知识。

四、对高中概率与统计内容教学的启示

教师应提高对概率与统计这部分内容的重视，更新教学观念、转换教学模式、丰富教学手段，并注重对学生的多方面培养，在提高教师教学效率的同时，激发学生的学习兴趣。

(一)更新教学观念

教学观念是人们对教学和学习活动内在规律认识的集中体现，是人们对教学活动的看法和持有的基本态度及观念，也是人们从事教学活动的指导思想。课程标准要求学生能掌握并运用知识解决实际问题，因此，教师必须更新教学观念，让学生透过概念的表面理解知识的本质，学会融会贯通。对此，教师要有探索精神，敢于打破传统教育模式，以提高学生知识运用能力为导向，不断探索、创新，走出一条适应学生提升自我的新路径；要有勇于借鉴学习的心态，积极去经验丰富的学校调研，学习、积累经验，取长补短，并结合自身实际走出一条有特色的新路径；要敢于亮剑，提出自己的新想法，进行大胆实践。

(二)转换教学模式

好的教学模式能够起到事半功倍的效果，使学生在学习中化被动为主动。为此，教师要多进行研讨式教学，在教学中要以学生为主，教师为辅：引入与实际生活密切相关的案例，让学生主动融入学习，激发他们的学习兴趣和求知欲，让学生体会到学习的快乐，体会知识的力量，并用所学知识解决实际问题；设置相应的课题，让学生以小组形式进行讨论，根据学生的讨论情况进行评价，并提出学生在讨论过程中存在的问题和不足；采用课上课后相结合的教学模式，课堂上提出实际问题让学生思考并试着解决问题，鼓励学生举一反三，提高他们自主创新的能力；课后不能进行题海战术，而是要让学生自行搜集课堂知识在实践中解决具体问题，以此提升学生运用知识的能力，加深学生对知识的理解。

(三)丰富教学手段

概率与统计内容具有一定的抽象性，学生往往难以理解教学内容，导致部分学生学习兴趣不高。因此，教师要丰富教学手段，注意对信息技术的应用。教师借助信息技术，能够为学生创造更加生动、直观的教学情境，使抽象的知识具体化，使学生更容易理解，充分发挥学生的积极主动性，从根本上提高概率与统计的教学效率。

(四)拓展教学内容

1.重视核心素养的培养，着重创新意识的培养

从近几年的高考数学试卷中概率与统计内容基本情况可以看出，核心素养的考查已从单一化向多样化转变。因此，在教学中，教师必须重视学生核心素养的培养。其中，对学生的数据分析素养和数学建模素养的培养尤为重要，这两种素养对学生知识视野的拓宽起着十分重要的作用。教师应将理论与实践结合起来，利用与日常生活相关的实际问题作为例题进行训练、讲解。而高中数学中的创新意识是数学所培养的理性思维的高层次表现。[4-5]在高考数学试卷中，这部分内容的变化不仅体现在考查知识综合性的增强上，而且体现在试题背景素材的创新上。教师要结合数学的本身特征，及概率与统计的应用特征，在教学中不断加强对学生创新能力的培养。具体来说，教师可在教学中设置一些难度适中的创新型问题提高学生学习新知识和解决新问题的能力，并引进一些与时事相关的问题，激发学生的探索和创新精神，如概率在大数据、体育、环保方面的应用。

2.注重知识的交会融合

对数学知识点之间联系的认识非常重要。数学知识点之间的抽象关系本身就蕴涵着思维方法，即“连线集”为一个方法系统。另外，信息加工理论指出，学生在回忆长时记忆中的有关知识时，按照其对相关知识的熟悉程度及知识之间联系的紧密程度，可以形成一个被激活知识的“回忆链”。概率与统计内容在近几年的高考考查中常与高中数学的其他内容进行组合式考查。在教学中，教师要更加注重知识点与知识点间的贯通，加强学生发散性思维的培养，防止思维定式，避免学生在综合性稍强的试题面前出现畏难情绪。

五、结语

随着大数据时代的来临，概率与统计成为社会发展不可或缺的部分。因此，高考越来越重视对概率与统计内容的考查。这一变化对教师的教学提出了更高的要求，其不仅要从考试题目入手考虑备课，还要从学生学习方面着手考虑，确保学生学以致用，提升学生解决实际问题的能力及数学核心素养。