一类双曲型方程组的Cauchy问题

金启胜

(1.安庆职业技术学院，安徽 安庆 246003；2.安庆师范大学，安徽 安庆 246003)

1 预备知识

设aij,bij,ci是区域Ω中(x,t)的充分光滑的函数，记

U=[u1

⋮

um],C=[c1

⋮

cm],m×n矩阵A=(aij),B=(bij)。

对于向量方程Ut+AUx+BU+C=0对应的方程组我们给出：

定义1如果方程组在Ω内一点的特征方向(即A的特征值)是实的，则称方程组在该点是双曲型方程组；如果方程组在Ω内每一点都是双曲型的，则称方程组在Ω内是双曲型方程组。

考虑下面双曲型方程组的Cauchy问题

(1)

(2)

2 主要结论和证明

定理1在Cauchy问题(2)中，若A(x,t),C(x,t),d(x,t),g(x)在0≤t≤η,|x|<∞上其本身及所有一阶偏微商连续且一致有界，则存在常数η0>0使得Cauchy问题(2)，当0≤t≤η0,|x|<∞时，存在唯一的C1类解[1-3]

V(x,t)=(v1(x,t),v2(x,t),…,vm(x,t))T

+di(αi(τ;x,t),τ)，i=1,2,…,m

(3)

上式沿γi关于τ在[0,t]上积分得

(4)

其中，cij,vj,di的自变量(X,τ)=(αi(τ;x,t),τ)。

用向量把积分方程组(4)写成

V(x,t)=W+FV

(5)

其中，W是以wi(i=1,2,…,m)为元素的m维列向量

wi=wi(x,t)

(6)

FV是以(FV)i(i=1,2,…,m)为分量的列向量

(FV)i

(7)

易知，问题(1)(或问题(2))的解必是问题(4)(或问题(5))的解，反之，若问题(4)(或问题(5))的解属于C1类，则必是问题(1)(或问题(2))的解。所以，要证明问题(1)(或问题(2))存在唯一解，只需证明问题(4)(或问题(5))存在唯一的C1类解即可。

第二步，记

Ω={(x,t)|0≤t≤η,|x|<∞}

(8)

其中，常数η>0。设gi,αi,di,cij(i,j=1,2,…,m)及其一阶微商在Ω上连续且一致有界。下证当0≤t≤η,η足够小时，问题(5)存在唯一C1类光滑解。

‖V‖=max{|V|,|Vx|}

其中

(9)

令V(0)(x,t)

=(g1(α1(0;x,t)),…,gm(αm(0;x,t)))T

V(n)(x,t)=TV(n-1)(x,t),n=1,2,…

=nq*

根据已知函数所设知道，q*<∞。取正数η=η0足够小，使得η0q*=q0<1。

vi(x,t)=wi(x,t)

(10)

我们知道，并非对一切类型的方程组都可以提Cauchy问题。当方程组的特征方程有复根时，方程组的Cauchy问题的解是不稳定的。但对于双曲型方程组(2)有

证明设对应于初始条件g(1)(x)与g(2)(x)的Cauchy问题的C1类解分别为V(1)与V(2)，根据(5)式可知

V(j)=W(j)+FV(j),j=1,2

(11)

其中，W(j)的元素wi(j)(i=1,2,…,m)由(6)式确定，只是把那里的wi,gi分别以wi(j),gi(j)代替，j=1,2；i=1,2,…,m。根据(11)式得

‖V(1)-V(2)‖

≤ ‖g(1)-g(2)‖+‖F(V(1)-V(2))‖

< ‖g(1)-g(2)‖+q0‖V(1)-V(2)‖

所以，(1-q0)‖V(1)-V(2)‖<‖g(1)-g(2)‖。