直击中考——函数的应用

文／骆丽叶

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）

数学来源于生活，又应用于生活。从历年各地的中考试卷命题趋势来看，命题者越来越倾向于考查同学们解决实际问题的能力。函数是用来刻画现实世界数量关系的模型之一，因此，对函数的考查，越来越贴近生活，综合性也越来越强。

例1（2021·浙江丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地。行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图1 所示（中途休息、加油的时间不计）。当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒。设货车平均耗油量为0.1 升/千米，请根据图像解答下列问题：

图1

（1）直接写出工厂离目的地的路程；

（2）求s关于t的函数表达式；

（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？

解：（1）由图像可知，当t=0 时，s=880，即工厂离目的地的路程为880千米。

（2）设s=kt+b（k≠0）。

将（0，880）和（4，560）代入s=kt+b，

∴s关于t的函数表达式为s=-80t+880（0≤t≤11）。

（3）当油箱中剩余油量为10升时，

【点评】本题以图像形式考查了一次函数的应用，答题的关键是读懂图像，看清横轴、纵轴的实际意义，并且明确图像中一些特殊点的实际意义。同时，用待定系数法求函数表达式，将一个变量的值代入表达式，求出另一个变量的值，再利用函数的增减性判定这个变量的取值范围。以上都是中考常考知识点。

爷爷奶奶照看孙女，因索要“带孙费”，与儿子儿媳对簿公堂，山东淄博市博山区人民法院日前经过审理认为，爷爷奶奶帮儿子媳妇带孙子非法定义务，因此索要“带孙费”的要求合情合理合法，予以支持。

例2（2021·辽宁营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30 元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少。商家决定当售价为60 元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1 元需支付由此产生的额外费用150 元。该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图2 所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）。

图2

（1）直接写出y与x的函数表达式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设线段AB的表达式为y=kx+b（40≤x≤60），将点（40，300），（60，100）代入，得

∴函数的表达式为y=-10x+700（40≤x≤60）。

设线段BC的表达式为y=mx+n（60＜x≤70），将点（60，100），（70，150）代入，

∴函数的表达式为y=5x-200（60＜x≤70）。

（2）设获得的利润为w元。

①当40≤x≤60时，

w=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000。

∵-10＜0，∴当x=50 时，w的值最大，最大值为4000元。

②当60＜x≤70时，

w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）=5（x-50）2+2500。

∵5＞0，∴当60＜x≤70 时，w随x的增大而增大，

∴当x=70 时，w的值最大，最大值为5×（70-50）2+2500=4500（元）。

综上，当售价为70 元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元。

【点评】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的综合应用，注意要分类讨论求出函数表达式以及利润的最大值。对于最大销售利润问题，我们常利用函数的增减性来解答，解决的关键是要明确题意，确定变量，建立函数模型。特别要注意的是，我们一定要在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在处取得。