无限思想在图形教学中的应用

袁 航

（宁波市海曙区古林镇布政小学，浙江 宁波 315100）

在传统的教学模式下，教师只需单纯地对学生进行知识“灌溉”，没有充分重视和发挥学生自主的思考，不利于学生思维的健康发展。随着新课程改革的不断推进，在我们日常的数学课堂教学中，培养学生正确且合理的思考方式凸显出越来越重要的作用[1]，也是小学数学课堂教学发展的必经之路。

在数学教学课上，数形结合的思想、分类与整合的思想、特殊与一般的思想是比较常见的[2]，而有限与无限的思想，教师往往觉得只是初中甚至是高中才会涉及的数学思想，很少出现在小学数学课堂中。针对这一现象，本文对小学中关于图形教学中的无限思想进行剖析，认为无限思想与空间图形的教学可以完美融合。

一、无限思想的认识

无限，又称“无穷”，具体可表述为没有限度、无始无终、无边无际、不可穷尽、有始无终、无穷大、无穷小、无穷集合等，仅仅是个定性的概念。

回顾数学的演变与纷争的历史，是人类从有限走向无限的认识历程[1]。无限是人类的在数学上最重要的对象，它从根本上改变了数学的全貌，使数学有了质的飞跃和发展，其结构体系日趋精密与完善。例如《庄子·天下篇》曾这样描述“一尺之棰，日取其半，万世不绝”。这种思想是从量的角度，以形象然而朴素的语言，刻划了无限可分性。它正是现代极限概念的萌芽状态[2]。虽然人们受当时历史条件的限制，但是古人已经开始研究数学与“无限问题”的内在联系，说明了“无限问题”成为数学的研究对象是由客观规律决定的，最终把它纳入数学研究范畴是不可避免的。如果将无限思想在空间图形的教学中完美融合，将起到事半功倍的效果！

二、无限思想在图形教学中的应用

（一）无限平移，形成空间

在空间几何的学习中，教师最强调一点就是要培养学生的空间想象能力。空间想象能力是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。培养学生的空间想象力是中学数学教学的主要任务之一，同时也是难点之一。首先对于建立起整个立体空间，就需要发挥无限的想象。我们都知道，点是空间几何的一个基点，有了这个基点，就能得到线，而通过确定方向无限平移便能得到了直线，进而又通过直线确定方向无限平移得到了面，面朝着某个方向（或相反方向）无限平移就成为了立体空间。

射线：一个点向某个方向无限移动形成的轨迹。

直线：这个点再朝着反方向无限移动形成的轨迹。

面：直线延某个方向（或相反方向）无限移动的轨迹。方向不能与直线的延长方向相同。

体：面延某个方向（或相反方向）无限移动的轨迹。方向不能与面的延伸方向相同。

在空间几个学习中，最基础的空间图形都是通过无限移动所建构起来的，那么可想而知，无限思想在空间几何之后的应用是有多么广泛。通过这样的一种呈现方式，很容易在学生在脑海里面能够建构起一个完整的一维到二维、二维到三维的立体空间。

（二）无限分割，论证公式

无限思想在平面图形的面积公式推导中也起到了关键性的作用。例如在教学平行四边形面积的时候，课堂中我们常常会利用将平行四边形转化为长方形，首先我们研究的是两个问题，第一为何转化为长方形；第二如何进行转化。第一点学生很好理解，是因为长方形的面积公式我们已经知道了，所以要将未知的平行四边形转化成长方形，那么转化的方法，无非就是剪一剪、拼一拼。

这是通过学生操作，所获得的知识经验。这是通过表象操作获得的结论，其实从数学的角度还能从无限思想入手，让学生感知为何平行四边形的面积公式与长方形的面积公式是一致的。以下面的图1 这个平行四边形为例。

图1

首先将这个平行四边形进行分割，分成4个高为1 的平行四边形（等底等高），然后分别做高，分割成如图1 的4 个长方形与8 个小三角形。此时平行四边形的面积=4 个长方形的面积+8 个小三角形的面积。

（这里的4 就相当于平行四边形的高）

然后将这个平行四边形再细分，分成8 个高为0.5 的平行四边形（等底等高），然后分别做高，分割成如图2 的8 个长方形与16 个小三角形。这时候红色的面积比黄色的面积小。也就是越细分，长方形面积之和越接近平行四边形的面积。此时平行四边形的面积=8 个长方形的面积+16 个小三角形的面积。

图2

（这里的4 就相当于平行四边形的高）

接着思考：将这个平行四边形再进行分割，分成16 个高为0.25 的平行四边形。此时的面积又会如何？再继续分无限分割呢？无限分割的情况下如图4，这时候会发现这个平行四边形的面积就会无限接近与这无限个长方形的面积之和。而这些长方形的面积则就能转化为c×4，此时无限分割，c 无限接近于6，所以在无限分割的情况下，

图3

图4

通过这种无限思想的渗透，让学生了解感知平行四边形和长方形之间本质的相似，所以它们之间的面积公式才会是一致的。因为平行四边形就如同许许多多个细细小小的长方形叠加而成。

除了平行四边形的面积渗透了无限的思想，圆的面积亦是如此。在教学圆的面积的时候，学生通过剪一剪拼一拼的过程去体会，可以通过将圆分割成几个小扇形然后拼成接近长方形的图案。图5 中将圆进行8 等分，并拼组得到如图的一个类似平行四边形的图形。接着继续细分。图6 中将圆进行16等分，并拼组得到如何的一个类似平行四边形（长方形）的图形，可以引导学生思考如果再细分呢？

图5

图6

这时不仅可以通过操作体会，更应该配合几何画板的演示，让学生观察当圆分割的扇形越来越多时，形状就越来越接近长方形。这里就可以渗透一个无限分割的思想，通过无限分割得到这些小扇形拼成了的图形无限接近于长方形。

通过分割和拼组的过程，我们知道了，长方形的宽就是圆的半径（r），长方形的长就是圆的周长的一半（rπ）。所以圆的面积=长方形的面积=πr2，见下图。

（三）无限变化，突破难点

在平面图形面积的学习当中，会遇到很多疑惑的问题，比如：学生学习平行四边形面积的时，会出现一个疑问：将平行四边形拉伸成一个长方形，面积是否变化。就学生的认知水平来说，他们很难理解为什么拉了一下面积会发生变化，看不出是大了还是小了，这时候如果能配合多媒体演示，渗透无限变化的思想，这样学生对于这平行四边形面积的认识将会非常深刻、非常全面！

从无限变化的层面进行演示，如下:

通过无限的拉伸变化发现，平行四边形进行拉伸时，面积是会发生变化的。而且当通过这种拉伸的比较，能让学生感受到面积的一个变化的过程，并很容易明白当平行四边形拉伸至长方形时面积最大。

（四）无限逼近，加深辨认

在学习圆的时候，往往会碰到这样一个结论，圆内最长的线段是直径，碰到这个结论时，不管是教师还是学生似乎都在默认，因为看起来就是直径长，那么，如何用数学的语言去证明呢？这时就可以借助无限思想去解释。

线段a、b、c（且a＜b＜c）是圆里面的任意三条线段。图7，根据三角形的三边关系，我们可以得到两条虚线相加大于a，而两条虚线就是半径，则两条虚线之和就相当于是直径的长度，所以就有了d=2r＞a，而图8、图9 中线段b、c与直径比较时，也能同理得到：d=2r＞b，d=2r＞c。那么，随着线段越来越接近直径，直到无限逼近直径（却不是直径），仍然能够根据三角形两边之和大于第三边来得到两条半径之和大于这条线段，所以得到了结论：圆内最长的线段是直径。学生通过这样的无限逼近的一个演示加想象，能更加深入理解了这个结论为何成立。

图7

图8

图9

无限思想是人类文化宝库中的瑰宝，也是学生学习现代数学知识的重要基础[3]。在小学数学教材中，蕴含着丰富的无限思想的素材。而教师在教学中要时刻注意挖掘，抓住适当时机，进行这种思想的渗透，为学生数学思想的发展、数学能力的提高提供广阔的空间，同时也为他们未来的可持续发展奠定坚实的基础。