学“整式乘法与因式分解”，从读教材开始

文／钟 鸣

同学们，教材是我们学习的根本。在学习本章之前，先浏览一遍，你会发现，本章由两部分构成——“整式乘法”和“因式分解”，它们是互逆变形。在本章的学习中，我们要学着从两个方向（顺向与逆向）看问题，培养逆向思维。

例如：乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，顺向看是“整式乘法”，两个一次多项式的积变成了一个二次多项式；逆向看是“因式分解”，一个二次多项式分解成了两个一次多项式的积。

深入阅读各节内容，我们还会发现这样的结构：“用不同的方法从不同的角度计算同一个图形的面积，获得等式”→“利用归纳，合情推理，得出法则或公式”→“依据运算律，通过演绎推理，证实结论”。这是贯串全章的基本方法，也是代数领域非常重要的学习方法。我们完全可以将这一基本方法拓展到对完全立方公式的研究中。

如图1，已知一个边长为a+b的正方体。对于其体积V，我们可以直接整体计算，得到V=（a+b）3；还可以利用两个小立方体的体积与6个小长方体的体积之和计算，即a3+b3+3a2b+3b2a。于是，我们得到等式①（a+b）3=a3+b3+3a2b+3b2a。

图1

上述结论中，a、b的取值局限于正数。为了得到一般的结论，我们不妨假设以下三类情况：1.a、b中有一个是负的；2.a、b都是负的；3.a、b中有一个（或两个）取值为零。我们将这3种情况分别代入等式①的左右两边，通过验证、归纳，猜想等式①对于任意实数都成立。但是，这只是猜想。为了在更一般意义上确立这一结论，我们还需要从数学已有的规则、事实出发，从逻辑上加以证明。因为（a+b）3=（a+b）2（a+b），所以我们利用完全平方公式和多项式乘多项式法则，即可证明等式①。

读完这一章，我们再回头想一想便能感觉：在知识形成的过程中，图形（几何）直观、符号意识、推理能力是比较重要的。

图形直观指画一个图形，直观表示所思考对象的数学特征（关系），以便分析问题。其指导思想就是数形结合。我们所熟知的表格、线段图、条形图、扇形图以及点和线段的表示等，都是图形直观。在本章中，图形直观体现在画一个图形来表示两个可以画等号的代数式，这既可以解释“整式乘法”，也可以解释“因式分解”。

符号意识就是主动使用符号的意识。我们在数学学习中，接触的数学符号主要有两类：1.数字、字母、图像（表）等对象符号；2.加、减、乘、除、等于、不等于等运算符号。运用符号，我们可以表示数、数量关系和变化规律，还可以进行运算和推理。在本章中，用符号表示规律，发现公式（等式①），就是主动运用符号表示的过程；对所发现的公式，依据运算律和法则进行证明，就是符号操作的过程。

如果想把一般的规律揭示出来，你就不得不进行符号表示；如果想证明规律的正确性，你就不得不进行符号操作。这两个过程既是代数运算的过程，也是初中代数与小学算术的最大不同。

进入初中后，我们更加重视由合情推理和演绎推理构成的完整推理过程。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式，是学习本章以及全部“数与代数”领域知识的有效工具。我们在阅读教材的同时，要留意去体验、认识、经历这样的推理过程，在进行合情推理时思考“合情”的理由，在进行演绎论证时注重寻找合理的证明思路。

总之，学习数学要阅读教材，要重视知识形成的过程，把握一章的主线，总结基本方法，更要锤炼数学能力，增强数学意识，体悟数学思想，感受数学趣味。