特殊四边形最值问题

文／陈新合

特殊四边形是中考中重要的知识点，综合性比较强，常与直角三角形、等腰三角形和勾股定理等知识搭配。最值问题是中考的常考题型，以特殊四边形为背景的最值问题是近两年中考考查的热点。下面，老师结合中考题，总结归纳一些求最值的题型，供同学们学习时参考。

一、菱形中的最值问题

例1（2021·四川眉山）如图1，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是______。

图1

解：如图2，过点P作PE⊥BC于点E。

图2

∵四边形ABCD是菱形，AB=AC=10，

∴AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，

二、矩形中的最值问题

例2（2021·四川内江）如图3，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上。当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 。

图3

解：如图4，取AD的中点H，连接CH，OH。

图4

∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，

∴CD=AB=1，AD=BC=2。

∵点H是AD的中点，

∴AH=DH=1，

∵∠AOD=90°，点H是AD的中点，

在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO=OH+CH，

∴CO的最大值为OH+CH=+1。

三、正方形中的最值问题

例3（2021·山东威海）如图5，在正方形ABCD中，AB=2，E为边AB上一点，F为边BC上一点。连接DE和AF交于点G，连接BG。若AE=BF，则BG的最小值为 。

图5

解：如图6，取AD的中点T，连接BT、GT。

图6

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2，∠DAE=∠ABF=90°，

在△DAE和△ABF中，