原题拓展 等价转化 互逆调换

文／万广磊

经研究发现，很多中考数学题与教材中的定理、法则、例题、习题等方面的学习内容和数学实验室、数学活动等方面的研究内容关系密切。教材内容经过适当改编，便可成为中考试题。

一、原题拓展延伸

例1（2021·湖南邵阳）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。连接DE、DF、BE、BF。

图1

（1）证明：△ADE≌△CBF。

（2）若AB=4 2，AE=2，求四边形BEDF的周长。

【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE=∠BCF=45°，再由“SAS”可证△ADE≌△CBF。

（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4。再证明四边形BEDF为菱形。因为AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE=2，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案。

（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知∠DAE=∠BCF=45°。

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）。

（2）解：∵

∵在正方形ABCD中，AC=BD=8，

∴DO=BO=4，OA=OC=4。

又∵AE=CF=2，

∴OA-AE=OC-CF，

即OE=OF=4-2=2，

【来源分析】第（1）问是苏科版数学教材八年级下册第85页习题13的原题，只是图形上的字母标注不同；第（2）问作了拓展延伸，利用勾股定理求菱形的边长，进而求出周长，属于常规变化。

二、等价转化条件

例2（2021·湖北十堰）如图2，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF。

图2

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若CF=2，∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的长。

【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF=EC。根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又因为EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF=CF。根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论。

（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG=60°，AE=2，则BG=AG=

（1）证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD=DC。

∵AF∥BC，

∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，

∴△AFD≌△CED（AAS），

∴AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，

∴AF=FC，

∴平行四边形AECF是菱形。

（2）解：如图3，过点A作AG⊥BC于点G。

图3

由（1）知四边形AECF是菱形，

【来源分析】例2第（1）问与苏科版数学教材八年级下册第80页例4的图形相近，且两题的条件实际上是可以等价转化的。在证明四边形AECF是菱形时方法相同，都采用了全等三角形的判定方法。例2的第（2）问进一步拓展，增加了线段的长度条件，并求相关线段的长。

三、调换条件结论

例3（2021·湖南长沙）如图4，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4。

图4

（1）求证：▱ABCD是矩形；

（2）求AD的长。

【分析】（1）由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=则BD=AC，即可得出结论。

（2）由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可。

（1）证明：∵△AOB为等边三角形，

∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BD=AC，

∴▱ABCD是矩形。

（2）解：∵▱ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°。

∵∠ABO=60°，

∴∠ADB=90°-60°=30°，

【来源分析】对比例3的第（1）问和苏科版数学教材八年级下册第75页的例1，我们可以发现，例3中的条件是“△OAB是等边三角形”，要证明“▱ABCD是矩形”，而教材例题中的条件是“▱ABCD是矩形”，要证明“△AOB是等边三角形”，两道例题是将条件与结论交换。

由此可见，同学们在平时的数学学习中，扎扎实实地理解每一个定理、法则，做好每一道例题、习题，再进行纠错反思，提炼总结，以不变应万变，自然会立于不败之地。