全面思考 深度理解

文／胡永强

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，是平面几何的精华，属于中考重点考查对象，会与三角形等知识相互融合，设计涵盖线段、角度及面积等在内的计算类问题和推理证明类问题。解决这类问题通常需要用到分类讨论、数形结合、转化等数学思想方法。

一、没有分类，造成漏解

例1以正方形ABCD的边AD为边长作等边△ADE，则∠BEC的度数是________。

【错解】30°。

【错因分析】分类是无图问题的关键考点。在解答过程中，如果忽略分类讨论，很容易造成漏解，从而出错。

【正解】如图1，当等边△ADE在正方形ABCD外部时，∠BEC＝30°；如图2，当等边△ADE在正方形ABCD内部时，∠BEC＝150°。故答案为30°或150°。

图1

图2

二、混用知识，造成错解

例2如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm。

图3

【错解】2.5。

【错因分析】有的同学误用了中位线定理，以为当EF为△ABC的中位线时，其长度最短。

【正解】如图4，连接CD。

图4

三、判断不到位，造成结论不准确

例3如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF。

图5

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由。

【错解】第（1）问出错很少，但第（2）问不少同学认为四边形ADCF是平行四边形。

【错因分析】由第（1）问容易得出AF=BD，再结合“D是BC的中点”这一条件可以得出AF=DC。此刻，许多同学结合AF∥BC这一条件，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这条判定定理，就判断四边形ADCF是平行四边形，忽略了直角三角形这个重要条件，造成判断不到位、结论不准确。

【正解】证明：（1）略。

（2）四边形ADCF是菱形。理由如下：

由△AEF≌△DEB，得AF=DB。