中位线在解决平行四边形问题中的应用

文／孙海锋

三角形的中位线定理是平行四边形章节的“压轴”内容，集中体现了两条线段之间的数量关系、位置关系。下面，老师结合平行四边形与中位线的综合题进行分析，探究解决这类问题的一般方法，供同学们参考。

一、根据概念，联系性质

例1如图1，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是边AD的中点，连接OE。若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于 。

图1

【解析】根据平行四边形的对角线互相平分，可知点O是对角线AC、BD的中点。结合条件“点E是边AD的中点”，可得OE是△ACD的中位线。结合中位线的性质，得△ACD的周长为10。由条件“OA=1”，可将△ACD的周长转化为两边AD、CD的和，从而求出平行四边形ABCD的周长为16。

【点评】依据平行四边形的性质和已知条件发现OE是△ACD的中位线是解决问题的关键。

二、结合条件，构造图形

例2如图2，平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，点G为DE的中点，连接CG。若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 。

图2

【解析】如图3，延长DC交EF于点M。根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，EF=BF=BC+CF=5，而CM=MF=CF=2，可得C、G是DM、DE的中点。根据中位线的性质，可得出CG=

图3

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点。延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG是△DEM的中位线是解题的关键。

平行四边形的性质比较丰富，其边、角、对角线等都具有一定的数量关系或位置关系。在解决问题时，首先分析条件是指向边、角，还是指向对角线，然后结合该元素具有的特征尝试解决问题。如果条件中给出的中点不止一个，解题时应有意识地寻找是否存在中位线；若条件中只有一个中点，可以尝试依据图形特征构造中位线解决问题。