问题链式驱动 思维深度提升——以“直角三角形”的复习课为例

骆寅飞, 易良斌

(1.杭州师范大学东城中学，浙江 杭州 310000;2.杭州市上城区教育学院，浙江 杭州 310000)

复习课的主要目的是通过对所学知识的系统回顾和小结，建构完整的知识网络和优化认知结构.本文聚焦知识复习内容的结构体系，围绕知识学习路径精心设计问题链式，通过探究性问题，促进学生在复习过程中厘清知识脉络、形成基本技能、提升思维发展，从而有效改进复习课“炒冷饭”“刷习题”等现象，让学生在复习中再一次发展.同时在问题解决的过程中，运用分析、讨论、归纳、总结等，优化解题方法，提炼解题思想.

笔者以“直角三角形”的复习课为例，阐述如何帮助学生进一步梳理知识脉络，重建知识结构，深化内在联系，并在教学过程中，渗透数学思想方法，有方向地提升学生的数学思维能力.

1 课前分析

在图形与几何板块的新课学习中，学生已具备研究几何问题的基本经验，能够进行一般的推理和论证，对动手操作和问题探究充满热情，但思维有一定的局限性，能力也有差距.中考第一轮复习，是初中数学新授课结束后的一次全面、系统的综合复习，是学生查漏补缺、构建关键知识体系的首要机会.在教学中教师要有适当的“追问”环节，使学生弄清知识的来龙去脉，不仅知道“是什么”，更要知道“为什么”以及“你是怎样知道为什么是这样的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以学生思维之道”.同时，在学习过程中通过对问题的质疑与分析、质疑甚至是批判，力争为培养学生的创造性思维做出努力.

2 教学过程设计

2.1 建构知识框图，夯实基础

初中几何图形中最基本的是三角形，三角形中最特殊的是等腰三角形和直角三角形，它们在初中几何中占据着举足轻重的作用.如图1，许多几何问题都是通过添加辅助线转化为这两类三角形，然后利用这两类三角形边角的特殊性质加以解决.其中直角三角形角角关系、边边关系、边角关系在复杂几何题的证明和计算中应用尤为频繁，以直角三角形为背景的几何题能充分考查学生的建模能力、运算能力、推理能力等.

图1

因此，直角三角形的复习是必要且重要的，本节课让学生了解直角三角形的定义、性质、判定，在此基础上，让学生积极参与到课堂中来，使其创造性思维、创新意识得到较好开发，并自主建构直角三角形的知识框图，回顾旧知.

2.2 分析典型例题，强化思维

例1如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点.在点P由A向B的运动过程中：

图2 图3

1)点P有哪些特殊位置？

2)当点P在特殊位置时，求线段CP的长度.

设计意图呈现一道开放题，非唯一确定性问题引发学生多元思考，让不同思维层次的学生均有效融入课堂，自主探究.第1)小题的定性为第2)小题的定量作铺垫，符合几何研究先定性再定量的研究思路.

对于第1)小题，学生很快能想到点P的特殊位置，即CP分别为中线、高线和角平分线.对于第2)小题，当CP为斜边AB上的中线时，直接利用斜中线定理求得即可；当CP为斜边AB上的高线时，用面积法亦可快速求得.因此，下面主要呈现当CP为角平分线时学生的解法.

解法1(利用特殊角，构造特殊直角三角形)如图3，∠ACP=∠BCP=45°，过点P作PD⊥BC，垂足为D.

设PD=4x，易得

BD=3x，CD=4x，

从而

4x+3x=3，

解得

则

故

评注教师追问学生为什么设4x.根据角平分线的定义，得特殊角45°，作垂线，构造特殊直角三角形，这是课标要求的基础知识和基本技能，是学生必须掌握和具备的.

解法2(面积法)如图4，∠ACP=∠BCP，过点P作PD⊥BC于点D，作PE⊥AC于点E.设PD=x，则PE=x，由S△ACP+S△BCP=S△ACB，得

图4 图5

4x+3x=12，

即

从而

评注根据角平分线的性质定理，作点P到角两边的距离.由垂直关系联想到三角形的高，进而联系等积法，这是几何问题中建立等量关系的常用方法.

解法3(由平行线与角平分线构造等腰三角形)如图5，∠ACP=∠BCP，过点B作BQ∥CP交AC延长线于点Q，易得∠CQB=∠CBQ，从而

由BQ∥CP，得

△ACP∽△AQB，

进而

即

解得

评注1)如图6，过点B作BH∥AC交CP延长线于点H，易得

图6 图7 图8

下同解法3，不再赘述.

2)还可以过点A作AM∥BC或AN∥CP，如图7和图8，同样构造等腰三角形和相似三角形，下同解法3.

3)平行线与角平分线构成等腰三角形，平行线构成“A”字型或“8”字型的相似三角形，是初中几何的基本图形.学生在新授课、习题课下，已经对这些基本图形较为熟悉，并积累了较为丰富的解题经验，为解决问题提供了厚实的思维基础.事实上，图3～8都可归类为添加平行线构造“A”字型或“8”字型的基本图形，通过相似三角形或三角函数等建立代数模型求解.

解法4(角平分线成比例定理)如图3，∠ACP=∠BCP=45°，过点P作PD⊥BC，垂足为D.根据三角形的内角平分线成比例定理，知

得

从而

进而

评注由角平分线成比例定理直接得比例关系，更为简洁方便.

反思例题中点P虽为动点，实际特殊情况下位置确定，由动转静，静态几何求值，就是找数量关系用方程求解.本题根据条件和图形特征采用基本图形法，学生思维发散，一题多解，又多解归一：初中静态几何求线段长度就是利用勾股定理、面积、相似或三角函数等建立代数模型(如方程)求解——这种一般观念与方法的落实是初中几何教学的应有之义.

变式1如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一点，AP∶BP=m∶n，联结CP，求线段CP的长.

图9 图10

设计意图在变式1中将点P的位置特殊为AP∶BP=m∶n，由特殊到一般，让学生再次巩固所学、提升思维品质、提高解题能力.

例2如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.

1)点P在什么位置时，四边形PECF为正方形？

2)点P在什么位置时，四边形PECF的最大面积是多少？

3)联结EF，线段EF什么时候最长，什么时候最短？请分别求出这两个最值.

设计意图例1的静到例2的动，不仅让学生学会静态几何求值，更要学会用变化的观点看问题，获得用函数刻画求解的活动经验，完善数学认知结构，同时也让学生感受四边形问题转化为三角形问题的数学思想方法.

易证四边形PECF为矩形.第1)小题，在例1的帮助下，容易得到当CP为∠ACB的角平分线时，四边形PECF为正方形.

第2)小题，设EC=x，四边形PECF面积为S，则

AE=4-x，

易证

△AEP∽△ACB，

从而

即

得

于是

图11

由EF2=EC2+CF2，得

反思本题第3)小题求最值，一部分学生利用几何意义直接分析获得，而另一部分则建立函数模型，二者比较，各有优胜.但最关键的是学生基于此类问题的思考——知识关系的建立、数学思想的应用、解题思路的形成，真正促进了学生的深度思考，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

变式2如图12，已知AB=AC=10，BC=12，点D为AC上一动点，根据刚才的探究过程，你能提出哪些问题呢？

图12

预设1)当BD分别为中线、高线和角平分线时，求BD的长.

2)在AB,BC上分别取点E,F，使得四边形EBFD为平行四边形，则EBFD有没有可能是菱形？

3)求BD的最小值.

设计意图类比本节知识内容，从直角三角形的研究过渡到非直角三角形的探索，体现特殊到一般的过程.在本问题的解决过程中，培养学生提出问题的能力，并且预设的4个问题应该是学生积累了本节课的学习经验后能够获得的，因此对学生基本活动经验的积累有检验、测评作用.最后在具体问题的解决过程中，学生需要将非直角三角形问题转化为直角三角形的问题，在基本技能上体现了数学的化归思想.

2.3 总结课堂所学，升华思维

学生回顾本节课所学内容，教师从思想和方法上引导学生总结归纳.

练习1如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，BP是∠ABC的平分线，求线段BP的长度.

图13

设计意图知识碎片化的结果是只见树木、不见森林，课堂小结就是把这种碎片化的知识整体化、结构化、系统化，思维更严密.同时借助这道练习引发学生的下一步思考，这节课研究了“直角”的问题，那么对于一般的三角形或非直角的情形可以怎么解决呢？再次引导学生从非直角通过构造垂直转化为直角的问题，感悟数学中的转化思想.

3 教学感悟

3.1 基于学情，精心设计教学

复习课不是机械重复新授课所学的知识，而是全新地构造一个新的体系，使学生的认知结构完整又严密.而中考数学复习课，以“让学生掌握数学学科核心知识，发展数学学科关键能力”为目标，显然必须具备这样的能力.学生在新授课后积累了一定的解题经验，但学生的认知结构不完整、不严谨，解题经验不丰富、不深刻，数学思维不灵活、不成熟，基于这样的学情，精选例题、精编习题，突出重点、突破难点，在具体教学中，巧妙提问、智慧启发，善于联系、合理优化，引发学生积极的思维热度，真正参与到知识重组的学习中.

3.2 追本溯源，渗透思想方法

罗增儒教授对于数学思想与数学教学有着这样的描述：“数学教学要用数学思想去指导教学设计，又要用数学操作去落实数学思想.”[1]本文中关于直角三角形的复习没有刻意追求解题技巧，而是注重学生的自然生成，如例1第2)小题线段求值的教学过程中，不同方法的呈现都是理解本质后的产物.本文的设计夯基础、重落实，较好地提升了学生的基本数学素养，如提炼基本图形、方程思想、数学建模、逻辑推理能力等.至此，学生再解决其他几何求值问题都有法可依、有据可循.

3.3 加强反思，提升思维层次

徐利治教授认为至少可以区分出3个不同的数学思维活动层次：1)程式或算法；2)解题策略；3)高层次数学思维(涉及数学思维的品质，如思维的灵活性、整合性、辩证性等)[2].本文的教学设计中，作辅助线建构基本图形、代数模型求解等是基本的程式或算法；从条件出发，分析不同的求线段方法是解题策略；面对具体问题，灵活选用解题策略，并及时优化解题方法，则体现了高层次的数学思维.教师在教学时，不仅要重视方法，更要引导学生归纳总结，并在实践中不断优化，发展高阶数学思维.