逻辑推理核心素养在小学数学课堂中的落实——基于“周长与面积变化规律”教学片断分析

■ 上海师范大学 成婕妤

1 有关“逻辑推理”核心素养的认识

逻辑推理的核心素养是《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出的六大数学核心素养之一。而在小学阶段,与之相对应的是《义务教育数学课程标准(2011年版)》中把推理能力也是作为十大核心词提出,其中关于“推理”的阐述是:“推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有事实和确定的规则出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。”

2 小学生逻辑推理素养的教学模式

2.1 “臆测教学模式”的内涵及构成

关于小学生逻辑推理素养培养已有许多探索,但是还没有形成相对确定的教学模式,本文参考中国台湾清华大学数理教育研究所林碧珍教授及其团队实践提出的“臆测教学法”。

臆测教学模式主要是以小组为单位进行学习,包含四个环节:第一环节是造例,在该环节中不仅需要学生独自创造一个例子,还需小组成员将个体创造的例子进行归纳汇总。第二环节是提出猜想,组内成员需根据小组例子提出个人猜想,为确保个人猜想是有理有据的,该阶段还需小组成员合作检验个人猜想的科学性,形成组内公认的猜想。第三环节是效化猜想,上一环节所提出的猜想仅仅是依据组内少数例子成立的,此时,该阶段还需利用全班其他组的例子来支持或反驳原猜想,形成班内公认的猜想。第四环节是猜想的一般化,前三个阶段的猜想是仅基于全班有限例子所提出的暂时性猜想,此时,学生需要进一步大胆推测该猜想能否被所有例子应用。

2.2 “臆测教学模式”对发展小学生逻辑推理素养的分析

“臆测教学模式”步骤非常清晰,并且每一步都对学生逻辑推理素养具有培养意义。首先在造例阶段,既可以帮助学生将现实生活世界与数学世界相联系,又发展了学生组织与执行数据的能力;其次在提出、效化、一般化阶段,要求学生将在少数例子中成立的猜想,类推到无限例子中仍然成立,学生在这个过程中,即能发现数学规律结构严谨之美,又能发展科学严谨的思维;最后在证明阶段,学生需要论证猜想的恒真,这就培养了学生演绎推理的能力。整个过程是教师有目的地设计臆测任务引导学生通过归纳与演绎相结合的方式,将非恒真的猜想修正为恒真的概念。例如,在学习“三角形内角和”时,教师可以用“臆测教学模式”让学生经历造例、猜想、论证的过程,来取代仅呈现一两个特殊例子,就直接宣告“任意三角形内角和都是180度”的教学模式。

3 对“周长与面积变化规律”课例分析

3.1 教学片断

师:老师给我们的老朋友(A4纸)动了一个小手术,我在他的右上角剪去一个小边长为10cm的正方形,这个图形和刚才的长方形比较,他们的面积谁大?

生1:长方形大!

师:为什么?

生1:因为明显在原来的基础上少了一块。

师:谁的周长更长呢?

生2:一样长。

师:你是怎么得出的?

生2:周长就是围成这个图形所有边的长度之和,我通过平移把正方形左边的那条边移到右边,下边的那条边向上平移,就恢复成一个长方形了。

师:由此看来“周长相等的图形,面积可不一定相等”。

师:同学们真有办法!那如果是在这个位置剪呢?2号图形和1号图形相比,周长谁的更长?面积谁的更大?(多媒体展示)

生3:它们的面积和周长都相等。

师:你是怎么判断的。

生3:图1通过平移把正方形左边的那条边移到右边,下边的那条边向上平移,可以得出图1与原长方形的周长相等。图2通过将下边的那条边向上移,也就围成了原长方形。

师:大家都赞同它的回答吗?

生4:我认为它们的面积相等,但是2号的周长比1号的周长长。

师:你来说说理由。

生3:因为是剪去同样的正方形,所以减少的面积是一样的。通过平移可以得知图1的周长和原长方形一致,而图2要比原长方形多两条正方形边长的长度。

师:同学们灵活运用平移的知识,就解决了老师的问题!那我们是不是可以由此得出面积相等的图形,周长不一定相等呢?

3.2 问题诊断

“课标2011年版”指出:数学课程在使学生掌握基础知识和基本技能的同时,也要重视培养学生的逻辑推理能力。合情推理经常被用于发现数学结论以及问题解决的探究性学习中,归纳和类比是其两种主要形式。而演绎推理经常被用于证明结论,两者应相辅相成。但当前小学数学课堂中,极少数教师会运用相关教法去培养学生逻辑推理能力,即使有,也是更偏向于合情推理。

在上述课例的教学片断中,教师试图通过引导学生运用归纳法去探究“长方形的周长与面积的变化规律”,来渗透归纳推理,然而由于教学活动设置不合理,使得逻辑推理素养的落实流于表面。具体分析如下:

分析1:在上述教学片断中,我们可以看出执教教师是想运用不完全归纳法,让学生在观察、平移中,经历从特殊到一般的归纳过程。执教教师仅为学生展示了两个操作情境,就得出“周长相等的图形,面积不一定相等”“面积相等的图形,周长不一定相等”两个结论,显然此操作设计的从特殊到一般不属于由部分推理到整体,这将潜移默化地给学生传达一个错误的不完全归纳概念。由此可见,从特殊到一般的归纳必须基于多个对象,否则就缺乏一定数量的合理证据。此外,依据不完全归纳法得到的结论有可能是真,也有可能是假,还需进一步证明结论的可靠性。

分析2:教师没有留给学生动手操作的机会,仅让学生在观察图形基础上思考图形的变化;教师没有设计小组活动,没有为后进生留有充分的思考时间。

4 基于臆测教学模式对“周长与面积的变化规律”课例作出改进

针对教学片断中存在的问题,最根本的原因在于教学活动设置得不够合理,因此,此次将基于台湾的“臆测教学模式”重建该活动设计。

[造例]学生6人为一小组,教师要求每个学生需剪出一个可供探究的例子,6人不可有重合。

教师可以设计以下几个问题,为学生提供造例的思路,明确操作目的。

问题1:如何才能规整地剪掉一个小长方形或小正方形呢?(教师可以为学生准备带有小正方形虚线格的长方形纸片,或者引导学生自己先制作一个小正方形或小长方形的模具)

问题2:如何才能显而易见地比较出长方形纸剪与没剪之间的不同?

(教师可以为学生准备两张颜色不一,形状一致的长方形纸,一种颜色用来对比,另一个用来裁剪)

问题3:在长方形的四周上剪掉一个小长方形,①面积会产生什么变化?②周长会产生什么变化?③面积和周长的变化会一致吗?

[组织例子]将组内每一位成员剪好的6个图形进行分类,并在写下分类的理由。如分类成在角落剪、在边上剪、穿透2边剪。

[寻找规律、提出猜想]首先,通过观察每一类图形变化的共同特征,基于证据提出个人猜想;其次,小组成员应相互验证所提出的猜想是不是建立在有效依据基础上的;最后,要求小组成员把小组中类似的猜想进行比较、归类、汇总,把个人猜想变成小组猜想。

[效化猜想]组织学生交流猜想,借助全班活动使得出的小组猜想能适用于更多的例子。为了让中低成就的学生也能积极参与课堂活动,教师可以请小组猜想数量最少的一组进行汇报并介绍分类理由,之后,依次请有多种分类的其他小组进行补充例证;最后,再经过全班成员一同检验,得到全班公认的数学发现。

设计意图:(1)从造例到提出个人猜想,让每名学生都有独立思考的机会;(2)从个人猜想到全班猜想,小学生利用论据来反驳别人的观点或支持自己的观点,做到言之有据正是演绎推理能力发展的初步表现;(3)从全班猜想到数学结论,学生以极端个例和具体数据论证猜想,并通过说理与精准数字,推演到结论,逻辑推理素养得以落实。臆测教学法模式真正做到了合情推理与演绎推理相辅相成。