G-强跟踪性和利普希茨跟踪性的研究

冀占江

1.梧州学院 大数据与软件工程学院，广西 梧州 543002；2.梧州学院 广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室，广西 梧州 543002；3.梧州学院 广西高校行业软件技术重点实验室，广西 梧州 543002

1 基本概念

(a) 对任意的x∈X，有φ(e，x)=x，其中e为G的单位元；

(b) 对任意的x∈X以及g1，g2∈G，有φ(g1，φ(g2，x))=φ(g1g2，x)．

则称(X，G，φ)是度量G-空间．为了书写方便，通常将φ(g，x)简写为gx．拓扑群的定义见文献[14]．

定义2[15]设(X，d)是度量G-空间．若对任意的x，y∈X和g∈G，有d(x，y)=d(gx，gy)，则称度量d对G不变．

σ(x0，x1，x2，…)=(x1，x2，x3，…)

2 主要定理

xmk+j=fj(ym)m≥0，0≤j

因此有

即

因此fk具有G-强跟踪性．

必要性 由于L为f的利普希茨常数，故∀x，y∈X，∀1≤i≤L，有

d(fi(x)，fi(y))≤Lid(x，y)

(1)

下面分L≥1和0

d(gmk+k-1gmk+k-2…gmk+1gmkfk(xmk)，x(m+1)k)≤

d(gmk+k-1gmk+k-2…gmk+1gmkfk(xmk)，gmk+k-1…gmk+1fk-1(xmk+1))+

d(gmk+k-1gmk+k-2…gmk+1fk-1(xmk+1)，gmk+k-1gmk+k-2…gmk+2fk-2(xmk+2))+

d(gmk+k-1gmk+k-2…gmk+2fk-2(xmk+2)，gmk+k-1gmk+k-2…gmk+3fk-3(xmk+3))+…+

d(gmk+k-1gmk+k-2f2(xmk+k-2)，gmk+k-1f(xmk+k-1))+d(gmk+k-1f(xmk+k-1)，x(m+1)k)≤

Lk-1εmk+Lk-2εmk+1+…+Lεmk+k-2+εmk+k-1≤

Lk-1(εmk+εmk+1+…+εmk+k-2+εmk+k-1)

故

即

继续下去可以得到

d(gmk+2gmk+1gmktmfmk+3(z)，xmk+3)≤L3ηm+L2εmk+Lεmk+1+εmk+2

……

d(gmk+k-3gmk+k-2…gmk+1gmktmfmk+k-2(z)，xmk+k-2)≤Lk-2ηm+Lk-3εmk+…+Lεmk+k-4+εmk+k-3

d(gmk+k-2…gmk+1gmktmfmk+k-1(z)，xmk+k-1)≤Lk-1ηm+Lk-2εmk+Lk-3εmk+1+…+Lεmk+k-3+εmk+k-2

故

k·Lkηm+kLk(εmk+εmk+1+…+εmk+k-2)

因此可以得到

因此对任意的m≥0，存在pm∈G，使得

由度量d对G不变知

因此f具有G-强跟踪性．

对m≥0，取

则

由f等价，且度量d对G不变，结合(1)式知，对任意的m≥0，有

故

即

由三角不等式知，对任意的m≥0，有

用同样的方法可以得到

……

故

因此可以得到

因此f具有G-强跟踪性．

故对任意的k≥1和i≥0，有

因此

即对任意的k≥1和i≥0，有

因此移位映射σ具有利普希茨跟踪性．

3 总结

本文在度量G-空间和无限乘积空间中研究了G-强跟踪性和利普希茨跟踪性的动力学性质，所得结果为它们在生物学、信息学和经济学等诸多领域的应用提供了理论依据和科学基础．