水资源承载力评价的三元减法集对势模糊数随机模拟方法

赵伟, 王平, 金菊良,3, 周戎星, 崔毅,3, 张礼兵,3

(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥 230009; 2.陕西省水利电力勘测设计研究院,陕西 西安710001; 3.合肥工业大学 水资源与环境系统工程研究所,安徽 合肥 230009)

水资源承载力作为一个受水资源、经济社会和生态环境三者相互作用的复杂系统,是衡量区域水资源安全状况的重要度量[1],是评价水资源空间均衡的重要方面[2],也是判别区域水资源可持续利用程度的重要指标[3-4]。水资源承载力研究自20世纪80年代末被提出至今主要经历了概念形成、理论探索、模型构建和应用拓展4个阶段[5]。其中水资源承载力评价模型构建阶段对水资源最严格定量管理十分重要,目前模型构建的主要方法有模糊综合评价法[6-7]、主成分分析法[8-9]、投影寻踪法[10]、集对分析法[11]等。例如:孟丽红等[6]从水资源承载力动态变化的长时间序列入手,采用模糊综合评价模型对赣州市水资源承载力进行了动态评价。LIU Lihuan等[9]为考虑因子选择及阈值计算,采用主成分分析方法构建了基于主成分分析的水资源承载力评价体系。金菊良等[10]为解决指标数据高维、非线性的问题,构建了基于最大信息熵原理的投影寻踪评价方法,并对安徽省空间分布进行了评价。李辉等[11]通过集对分析方法构建了基于联系数的区域水资源承载力诊断评价模型,进行了动态诊断评价,并采用减法集对势诊断识别了安徽省水资源承载力的脆弱性指标。SUN Xiubo等[12]通过主客观加权,将权重引入到TOPSIS模型的欧氏距离中,并将其应用于水资源承载力评价中。目前,在水资源承载力评价研究方面,往往得到的综合评价结果为一个确定的实数值,这与实际区域水资源承载力评价过程中客观蕴含诸多不确定性的情况存在明显偏差。为此，本文在水资源承载力评价的集对分析联系数方法基础上,通过改进差异度系数的三角模糊数的固定取值,构建差异度系数随评价指标样本动态取值的三角模糊数与随机模拟相结合的评价模型,该模型得到的综合评价结果为一个置信概率区间,以反映区域水资源承载力评价系统的随机性和模糊性综合作用的影响,将评价模型应用于安徽省水资源承载力评价中,并将本文计算结果与其他方法的计算结果进行比较分析。

1 三元减法集对势模糊数随机模拟方法

1.1 减法集对势的概念分析

联系数是由中国学者赵克勤[13]在集对分析理论基础上提出来的。其表达式为:

u=a+bI+cJ。

(1)

式中:a为同一度、b为差异度、c为对立度,a、b、c∈[0,1],且满足a+b+c=1;I为差异度系数,一般为正负型对立关系,I∈[-1,1];J为对立度系数,一般为正负型对立关系,J=-1。

联系数是一种确定不确定的关系结构函数[14]:在宏观层面上,同一度、差异度、对立度是一个确定的数值;在微观层面上,差异度系数是一个不确定的数值。伴随函数是一种在宏观与微观层次上的关系结构函数[13-14]:在宏观层次上,同一度、差异度、对立度表达为一种确定不确定关系;在微观层次上,差异度系数表达为一种不确定关系。由文献[14]可知,联系数从宏观层次的研究发展到不同方向微观层次的研究中,集对势是联系数的伴随函数中研究相对较多的一种,集对势按照不同结构的表达形式可分为:减法集对势[15]、除法集对势[16]、广义集对势[17]、粗糙集对势[18]、区间集对势[19]等。由文献[15]可知,集对势的实质是在描述研究对象在宏观层次上用联系数定量表达出其所处的相对确定性状态和整体发展趋势,金菊良等[15]据此原理提出了三元减法集对势sf(u):

sf(u)=a-c+b(a-c)=(a-c)(1+b)。

(2)

式中:sf(u)为减法集对势,sf(u)∈[-1,1];当I=1时,sf(u)=(a+b)-c,称为乐观减法集对势;当I=-1时,sf(u)=a-(b+c),称为悲观减法集对势;当I=1或I=-1时,sf(u)分别属于乐观或悲观估计,反映集对事件本身所处的两个极端状态[15]。减法集对势中联系项a和c是一个相对确定的数值,起着主导事件趋势走向的作用;b在这里是一个不确定变量,给事件的趋势走向提供量的多少,具有不确定性。式(2)中第1个(a-c)表达了事件的趋势走向所能得到的量,第2个(a-c)表达了事件的趋势走向在b中所能得到量的程度,两者式子一样,表达出的物理意义却不相同,后者实质上表达为联系数中差异度系数I的最可能取值为(a-c)。

由式(1)和式(2)可知:差异度系数I=a-c,当a=1、b=c=0时,u=1+0I+0J,表明事件只有往正向发展的趋势,I的最大可能值为1、最小可能值为0、最可能值为1-0;当c=1、a=b=0时,u=0+0I+1J,表明事件只有往负向发展的趋势,I的最大可能值为0、最小可能值为-1、最可能值取中间值0-1;当联系数分量a或者c不等于1时,差异度系数I的三角模糊数的最大(小)可能值也不绝对是1或者-1,而是随着联系数分量a和c变动。目前,在差异度系数取值方面,三角模糊数的取值一般直接定量表示,如文献[20]中差异度系数的三角模糊数直接取为静态的I1=(0,0.5,1)、I2=(-0.5,0,0.5)、I3=(-1,-0.5,0),这类取法不能及时反映集对事件的实际变化情况,计算结果可能会产生一定的误差,而且没有充分利用不同联系数本身所蕴含的变化信息来调整表示I变动的三角模糊数。由于差异度系数的取值不是一成不变的,其随集对事件本身所处环境的变化而变化,这些变化反映在联系数分量中也会存在一定的变动,式(2)减法集对势中取I=a-c只是所有可能性中的最可能值,其他取值情况也会发生,只是情况发生的可能性会小一些。由此可知,差异度系数的三角模糊数在取值上应是一种动态取值,随着联系数分量的不同而取不同的三角模糊数数值,即I的最大可能值为a、最小可能值为-c、最可能值为a-c,据此这里提出差异度系数动态取值的三角模糊数为I=(-c,a-c,a)。

1.2 面向实际联系数的三元减法集对势模糊数随机模拟

目前由减法集对势演化的种类已有多种,从不同角度发展成为不同种类的减法集对势,如五元减法集对势[1]、引力减法集对势[21]、半偏减法集对势[22]等,并开始在水资源承载力、旱灾风险等评价问题中得到应用,但这些种类的减法集对势大多以三元减法集对势的思想为基础。三元减法集对势在水资源承载力评价中计算得到的结果是表示集对整体趋势的确定性数值,处于-1到1之间,以诊断识别事件所处的客观状态。而水资源承载力本身具有随机性和模糊性,评价值也是一种可能性结果,即用一种可能性区间来表达。本文以三元减法集对势的物理意义为基础,用三角模糊数表征差异度系数的不确定性变化,根据三角模糊数的随机模拟公式对差异度系数进行随机模拟,代入联系数中,可得一个置信概率区间。三元减法集对势模糊数随机模拟评价方法的建立过程包括以下5个步骤。

步骤1三元联系数的计算。采用文献[11]中的公式计算评价指标值的联系数分量u1ijk,详见式(3)—(5)。其中i=1、2、…、ni;j=1、2、…、nj;k=1、2、3。

(3)

(4)

(5)

式中:若指标对应的评价标准等级值k随评价指标值xij的增大而增大(减小)则该指标为正向(反向)指标,评价标准等级1～3之间的临界值分别对应s1j、s2j,评价标准等级1级的左端点值对应s0j、评价标准等级3级的右端点值对应s3j[11,23]。以正向指标为例,根据经验端点值一般取s0j=(0.3～0.5)s1j,s3j=(2～4)s2j[24]。样本值xij隶属于模糊集“评价标准等级k”的相对隶属度[25-26]可表示为:

(6)

利用式(7)对式(6)进行归一化。

(7)

式中v1ijk为归一化的评价指标值的联系数分量。

u1ij=a+bI+cJ=v1ij1+v1ij2I+v1ij3J。

(8)

式中u1ij为评价指标值联系数。

(9)

式中:u1i为样本i的评价样本联系数;wj为评价指标j的权重。

(10)

式中:u2i是由指标的权重计算出的联系数;na、nb、nc分别为样本i中的指标值分别落在所对应评价等级中的个数。na、nb、nc满足下列要求:

na+nb+nc=nj。

(11)

根据最小相对熵原理,联系数取几何平均数是相对合理的[15]:

(12)

式中:vik为平均联系数分量;ui为平均联系数。

步骤2差异度系数的三角模糊数动态取值的确定。由1.1节内容可知,本文评价样本联系数和评价指标值联系数中的差异度系数三角模糊数均取为I=(-c,a-c,a)。

步骤3三角模糊数的随机模拟。差异度系数的三角模糊数设为I=(b1,b2,b3),b1≤b2≤b3,采用文献[27]给出的随机模拟公式,由随机模拟三角模糊数表示的差异度系数,得到可能值变量I:

(13)

式中u为乘同余法在[0,1]上模拟的均匀分布随机数。

步骤4构造评价样本联系数和评价指标值联系数在显著性水平α下的置信概率区间[28]。由式(13)分别计算得到评价样本和评价指标值的N个可能值变量I,把相对应的N个可能值变量I分别代入式(8)和式(12)中,最后对计算得到的评价样本和评价指标值的N个联系数值分别进行从大到小排列,根据随机变量的经验累积频率的数学期望公式(14)[28-29],由式(15)计算联系数值在显著性水平α下的置信概率区间:

Pl=l/(N+1);

(14)

[uINT[(1-0.5α)(N+1)],uINT[0.5α(N+1)]]。

(15)

式中:Pl为N组联系数值从大到小排序、序号为l的经验累积频率[28];uINT[]为取整序号所对应的联系数值。

步骤5对评价样本进行综合评价。采用线性变换把式(15)中平均联系数评价结果ui转换为评价等级[30]。

yi=f(ui)=-ui+2,ui⊂[-1,1],yi⊂[1,3]。

(16)

式中:ui为平均联系数评价结果;yi为样本i的评价等级。

2 实例分析

应用1.2节中的评价方法对2005—2015年安徽省水资源承载力进行评价分析,采用的评价指标、权重和等级标准参照文献[11],详见表1。

表1 安徽省水资源承载力评价指标、权重及等级标准[11]

由《安徽省水资源公报》和《安徽省统计年鉴》整理得到2005—2015年安徽省水资源承载力评价样本数据,按照上述评价方法计算得到显著性水平α=0.05(95%置信概率)下的联系数值、评价等级(表2),并将联系数值和评价等级分别与减法集对势和级别特征值进行对比分析。表2中,方法一的差异度系数取动态三角模糊数I=(-c,a-c,a)进行随机模拟,方法二的差异度系数取静态三角模糊数I=(-1,0,1)进行随机模拟。

由表2可知,由方法一和方法二得到的安徽省水资源承载力联系数值、评价等级都是以置信区间的形式表达的。经对比:方法一的计算结果更稳健、更精准,置信区间的平均范围在0.2左右,且小于被均分为5个势级区间的大小(被均分的势级大小为0.4),其结果可较好地表达出水资源承载力所处的可能状态;方法二的计算结果偏宽泛,只有当显著性水平α取0.75时,其置信区间的范围才在0.2左右,且有许多减法集对势的计算结果不在置信区间中,不能很好地表达出水资源承载力所处的可能状态。方法一的计算结果大多数都包含减法集对势计算的结果,也有个别年份不能包含减法集对势的计算结果,如2014年和2015年。这是由于其所在年份的联系数中对立度非常接近于零引起的,因为当c=0时，差异度系数的三角模糊数I=(0,a,a),使得随机模拟出来的差异度系数I主要集中在最大可能值a上,即接近同一度a、远离对立度c,从而在截取置信区间时不易包含减法集对势的计算结果,同理a=0时也会发生这种临界现象。

表2 安徽省各年水资源承载力的联系数值、减法集对势、评价等级和级别特征值

为更好研究安徽省各年水资源承载力的发展趋势,将表2的评价结果以图的形式表达出来,如图1所示。由图1可知:在相同的显著性水平α=0.05(置信概率95%)下,方法一的计算结果明显好于方法二的计算结果,方法一得到的置信区间的两条线趋势一致,而方法二得到的置信区间的两条线中只有一条线的趋势与减法集对势的趋势一致,另一条线的趋势比较平缓,且与减法集对势的趋势差别较大。计算结果出现趋势差别较大现象的原因是:方法一中三角模糊数的数值是根据减法集对势的物理意义取得的,是一种动态的取值,随机模拟出来的计算结果在减法集对势周围；方法二中三角模糊数的数值是直接定量取得的,是一种静态的取值,随机模拟出来的计算结果可能会包含许多不符合实际情况的值,在截取置信区间时就会出现趋势差别较大的现象。由于方法二中显著性水平的取值越大(小),计算结果的趋势差别越小(大),所以可靠性和精确度方面不能同时提高。方法一与方法二相比,其计算结果在可靠性方面得到提高的同时,精确度也得到了提高。安徽省水资源承载力的评价等级有95%的可能性在逐年缓慢减小,个别年份的评价等级在相对增大,例如:2006年有95%的可能性处于[2.31,2.50]级,2009年有95%的可能性处于[1.97,2.14]级,2011年有95%的可能性处于[2.08,2.26]级,2013年有95%的可能性处于[2.15,2.34]级。

图1 安徽省各年水资源承载力3种评价结果对比图

采用文献[11]和文献[31]所选取的安徽省水资源承载力指标中4种具有代表性的评价指标:承载支撑力中的人均水资源量、承载压力中的万元GDP用水量和万元工业增加值需水量、承载调控力中的人均GDP,按照上述计算方法得到这些指标的联系数,见表3。

表3 安徽省各年水资源承载力评价指标的联系数[31]

按照步骤2—4分别用方法一和方法二计算4种评价指标的评价结果,同时用减法集对势计算出4种评价指标的联系数值,对3种方法的结果进行对比分析,如图2所示。

由表3和图2可知:

图2 安徽省各年水资源承载力评价指标的评价结果、减法集对势对比图

1)人均水资源量在2006年有95%可能性处于[-0.766,-0.559],在2011年有95%可能性处于[-0.729,-0.523],在2013年有95%可能性处于[-0.757,-0.549],说明“人均水资源量”是导致这几年安徽省水资源承载力向差的方向发展的主要因素。2005—2009年的减法集对势偏向方法一对应评价结果的下限,是由于差异度系数的三角模糊数I=(-c,a-c,a)中的同一度a较小造成的;同理,2010年和2015年的减法集对势偏向方法一对应评价结果的上限,是由于对立度c较小造成的。

2)万元GDP用水量在2006年有95%可能性处于[-0.719,-0.514],在2005年有95%可能性处于[-0.684,-0.481],其他年份随着时间的变化,评价结果在缓慢向好的方向提高,说明“万元GDP用水量”是引起安徽省水资源承载力向好的方向发展的主要因素。2005—2015年的减法集对势逐年缓慢从偏向方法一评价结果的下限到上限,是由于同一度a在逐年变大、对立度c在逐年变小引起的。

3)万元工业增加值需水量在2005—2015年逐年向有利的方向发展,尤其是2009年有95%可能性处于[-0.783,-0.577],到2011年95%可能性处于[-0.081,-0.113],发展得很快。万元工业增加值需水量在方法二中2005—2009年的评价结果中,出现两条不相平行的线,这是由于用方法一中的三角模糊数I=(-c,a-c,a)模拟出的差异度系数主要集中在a-c附近,是一种动态的计算结果,而用方法二中的三角模糊数I=(-1,0,1)模拟出的差异度系数主要集中在0附近,是一种静态的计算结果,两种取值方法的计算结果分别代入联系数中,使得方法二在这几年的评价结果包含了许多不太可能达到的数值,造成两条不相平行的线。

4)人均GDP的整体趋势一直在向好的方向发展,不过发展得较缓慢,逐年改善得不是非常明显。

5)在显著性水平α=0.05下,方法一和方法二的评价结果与减法集对势的评价结果相比,方法一的评价结果包含减法集对势的,且评价结果更稳健、更精准,方法二的评价结果和减法集对势的评价结果差别较大,且评价结果偏宽泛、趋势有可能不相平行。

综上所述,说明差异度系数的三角模糊数在取值上随着联系数分量的不同而不同,动态取值符合集对事件所处的实际状态,说明改进的三角模糊数取值在三元减法集对势模糊数随机模拟方法中是可行的,且评价结果为一置信区间,可为客观反映实际变化情况提供一种可能性。

3 结论

本文在对三元减法集对势进行分析的基础上,提出用动态三角模糊数对差异度系数进行取值,将动态取值的三角模糊数与随机模拟相结合,实现对差异度系数进行随机模拟,使得三元减法集对势三角模糊数随机模拟的结果更符合评价对象所处的实际状态,且事件的评价结果用一种可能性的区间来表达。通过三元减法集对势模糊数随机模拟方法在安徽省水资源承载力评价问题中的应用,验证了改进的三角模糊数取值的合理性,而且评价结果的置信区间趋势也更稳健、更精准。此方法的应用结果表明:

1)改进的三角模糊数动态取值与以往直接定量取值三角模糊数的随机模拟方法相比,在显著性水平α较小的情况下,两种评价方法都包含了减法集对势的评价结果,方法一的评价结果的置信区间更稳健、更精准,而方法二的评价结果的置信区间则偏宽泛,使得评价结果不是很准确。两者相比,前者可靠性和精确度方面都有所提高,更加合理、更加符合集对事件的实际变化状态。

2)改进的三角模糊数随机模拟方法与减法集对势相比,两种评价方法的结果的整体变化趋势相同,方法一的评价结果是一置信区间,为水资源承载力评价提供了更多可靠性方面的信息,而减法集对势的评价结果是一实数值,缺少可靠性方面的信息。两者相比,前者评价方法更加符合集对事件的客观实际情况。

3)2005—2015年安徽省水资源承载力评价的应用结果表明,三角模糊数的动态取值进一步挖掘了三元联系数的关系结构信息[32],结果合理,三元减法集对势模糊数随机模拟方法的计算结果稳定可靠。