基于核心素养的高中数学教学设计

摘 要：核心素养指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中也倡导促进学生数学学科核心素养的形成和发展[1]。学校和教师依据国家颁布的课程标准才能更好地进行教学，在这个背景下，本文以集合的概念为例，给出了核心素养下的高中数学教学设计，希望给广大教师一些参考。

关键词：核心素养 高中数学 教学设计 案例

集合是刻画一类事物的语言和工具，学生步入高中后接触到的第一个知识就是集合，集合的重要性不言而喻，学习集合的概念，对培养学生的数学抽象素养具有重要意义。因此，在课堂教学中，如何落实核心素养就成了我们需要思考的问题。教师可以从“教什么”和“怎么教”两方面来落实核心素养[2]。

1 教材分析

集合的概念是数学教材必修第一册中第一章第一节的内容。课标中也对本节内容作了相应的要求：通过具体的例子了解集合的含义;体会集合中的元素与集合的“属于”关系;能够针对不同的具体问题选择合适的集合的表示方法。集合是简洁、准确地表达数学内容的基本语言，是整个高中数学内容学习的基础。

本节的内容比较基础，在考试中经常作为题目的一部分与其他知识一起考察，其中元素与集合的关系、用列举法和描述法表示集合等内容是考察的热点。

本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、逻辑推理、数学运算等。

2 学情分析

学生在小学、初中阶段的学习中已经接触过一些集合，只是没有系统有效地使用集合语言，有了这些基础，再加上学生在生活中发展起来的数学运算、逻辑推理等素养，在学习这部分内容时会比较得心应手。

在学生学习的过程中，学生可能存在以下认知障碍：一是对集合中元素的特征把握不准确，主要原因是这一块内容的考察方式很灵活，需要学生具备一定的逻辑推理素养;二是在使用描述法时易混淆代表元素的意义，主要原因是思考问题中的惯性以及审题不仔细。

3 教学目标

（1）通过具体的例子，使学生了解集合与集合中元素的含义，体会从具体例子中抽象出集合共同特征的过程，发展学生思维和数学抽象核心素养。（2）体会元素与集合之间的属于关系。（3）了解集合中元素的确定性、互异性、无序性。（4）能选择合适的集合语言描述相关的数学对象，并能够做到表述方法的转换。（5）调动学生学习的积极性，培养学生的抽象概括能力。

4 教学重难点

重点：集合的含义与集合的表示方法.难点：合理选择恰当的表示方法。

5 教学方法

讲授法、问答法。

6 教学过程

6.1 复习引入

（1）在初中的代数部分，我们接触过哪些集合呢，你可以给出一些集合的例子吗？（2）在初中的几何部分，你是否也能给出一些集合的例子呢？

【師生互动】

师：引导学生回忆，让学生之间进行讨论交流，教师根据学生的交流情况给予相应的反馈和评价。

生：老师，我记得在不等式的解集中有过集合的提法。

师：很好，还有其他同学补充吗？

生：老师，我知道在定义圆的概念时也提到过集合。

【设计意图】

回忆之前学习过的知识，引出集合的概念。

6.2 概念形成

出示一组实例：

（1）1～10之间的所有偶数;（2）立德中学今年入学的全体高一学生;（3）所有的正方形;（4）到直线l的距离等于d的所有点;（5）方程x2-3x+2=0的所有实数根;（6）地球上的四大洋。

问题：你能概括出以上这6个例子的共同特征吗？得到元素与集合的概念。

【师生互动】

师：上面的6个例子中有什么共同的特点呢？同学们分组交流讨论一下。

生：学生进行思考、讨论。

师：我们从每个小组中选择一位代表，给大家分享一下各个小组的讨论成果。

生：讨论交流后，发表观点。

师：补充学生观点，为了解集合的含义做铺垫.大家对集合是怎样理解的呢？

生：学生思考，最后在教师的帮助下，学生总结出元素与集合的含义。

师：你能分别说出以上各个例子中集合的元素是什么吗？

生：学生给出回答。

【设计意图】

集合是一个原始的、不定义的概念，我们只能给出关于集合的描述性说明，通过具体的例子，让学生体会集合概念生成的过程，通过学生的思考，得出集合的概念，同时培养学生的抽象素养。

6.3 概念深化

（1）继续观察上述实例，思考：集合中的元素有什么特点？（2）通过给出常见例子，引导学生，归纳出集合中元素的三个基本性质。（3）明确相等集合的概念。（4）让学生明白元素与集合的从属关系以及相应符号的写法及应用。（5）给出常用数集的记法。

【师生互动】

师：“我们班里数学学习好的同学”、“我们班里跑得快的同学”能分别组成一个集合吗？

生：思考交流。

师：请“我们班数学学习好的同学”站起来。

生：有的同学站起来，有的同学没有站起来，还有一些同学在徘徊，不知道自己该不该站起来。

师：为什么咱班同学不确定自己是否应该站起来呢？

生：因为不知道怎样才算数学学习好？

师：很好。也就是说，数学学习好没有一个明确的标准，我们不能确定自己是不是数学学习好。因此，在研究集合时，这个集合里面的元素必须是确定的。

生：老师，我明白了，“我们班里跑得快的同学”不能组成集合，因为不能明确知道跑得多快才算跑得快，它不满足集合中元素的确定性。

师：非常好。这就是集合中元素的第一个性质——确定性.如果我们班的所有学生组成一个集合，同学们思考一下集合中的元素还有什么性质呢？

生：我们班里每一个学生都有自己的特点，都是互不相同的。

师：对，我们班里的每一个同学都是不一样的，这就是集合中元素的第二个性质——互异性。

师：描述我们班的所有学生组成的集合时，先说哪一位同学，对我们最后的集合有影响吗？

生：没有，即使顺序不一样，描述的也都是同一个集合。

师：很好，无论顺序如何，组成这个集合的元素时不变的。这就是集合中元素的第三个性质——无序性。

师：同学们要牢记集合中元素的三个性质，明白它们的含义。

师：你能说出上述6个例子中的元素分别是什么吗？讨论一下元素与集合之间有什么关系？

生：学生思考讨论后回答。

师：引出元素与集合的从属关系，让学生理解并牢记相关符号。

师：带领学生认识常用数集的记法。

【设计意图】

给出身边的常见例子，通过例子抽象出集合中元素的三个性质，让学生对集合有更加深入的理解;通过集合中元素的无序性，引出相等集合的概念;通过上面的6个例子，让学生更加深刻地理解元素与集合的从属关系。

各种常用数集符号在后续学习中会经常碰到，一定要牢记。

6.4 应用举例

除了用自然语言描述集合，还能用其他的方法表示集合吗？

（1）引出集合的另一中表示方法——列举法，通过例1题目巩固列举法。（2）给出一个用列举法无法表示集合的例子让学生思考，引发学生认知冲突，为引出描述法作铺垫。（3）给出描述法的定义，巩固，并注重两种表示方法之间的转换。

例1用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合。

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合。

思考：可以用列举法来x-7<3表示不等式的解集吗？

例2用列举法和描述法两种方法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A。

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合B。

【师生互动】

教师直接给出列举法的定义，让学生理解记忆，并给出对应例题：

例1解（1）设小于10的所有自然数用集合A来表示，由于集合中元素的无序性，集合A也可以用不同的列举方法表示例如：

A={0，1，3，4，5，6，7，8，9}或A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}。

（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}。

教师让学生解决“思考”中的问题学生發现不能用列举法表示，引出描述法。

教师指出用描述法表示集合应注意的问题：

（1）有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P（x）}或{x∈A;P（x）};

（2）在花括号内，竖线两侧分别表示的意义;

（3）我们约定，如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是确定的，那么x∈R，x∈Z可省略，只写其元素。

例2解（1）设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}

方程x2-2=0有两个实数根，因此用列举法表示为。

设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z且10<x<20.因此，用描述法表示为。用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。

【设计意图】

抛出问题，引导学生解决问题，通过例题1加深学生对列举法的理解。

通过思考题中的问题让学生发现：有些集合用列举法表示很不方便，引发认知冲突，引出描述法。

通过例题2的具体题目让学生明白各个表示方法的特点和适用范围。

6.5 当堂检测

举例说明用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点，完成练习：

6.5.1 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由

（1）所有的直角三角形;（2）写字写的好的高中生。

6.5.2 用符号“”或“”填空

0N;-3N;0.5Z;Z;Q;πR。

6.5.3 用适当的方法表示下列集合

（1）由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;（2）不等式4x-5<3的解集。

【师生互动】

师生对本节课所涉及的实例进行分析，讨论总结出各自的优点及适用范围。

练习题部分，先让学生独立思考，逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评。

【设计意图】

练习题1考察学生对集合的概念的理解，练习题2考察元素与集合的关系，练习题3考察学生对集合的表示方法的理解，巩固所学知识。

6.6 课堂小结

（1）集合中元素的基本性质。（2）元素与集合的关系有多少种。（3）集合的表示方法及各自的适用范围。

【师生互动】

师：引导学生思考，概括。

生：思考后进行整理，表述概括的结果，其他同学补充。

【设计意图】

归纳整理本节课所学知识.关注与培养学生数学抽象这方面的素养。

6.7 布置作业

课后完成以下作业：

6.7.1 用符号“”或“”填空

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A;

（2）若，则-1A;

（3）若，则3B。

6.7.2 把下列集合用另一种方法表示出来

（1）{2，4，6，8，10};

（2）;

（3）中国古代四大发明。

【师生互动】

学生课后独立完成。

【设计意图】

练习题1考察元素与集合的關系，练习题2考察学生对集合的表示方法的理解，巩固新知。

7 板书设计

8 教学反思

教材中也只是给出了集合概念的一个描述性说明教师要借助具体的例子引导学生概括出元素和集合的含义，注重概念的生成过程，有意识地关注、提升学生的数学抽象素养，并在具体运用中逐渐熟悉元素、集合的字母表示以及它们之间的关系在教学过程中，要注意“”和“”的开口都是朝着集合的方向，一定要让学生书写规范，用列举法和描述法表示集合的时候要注意区分写法的不同，不能混淆。

在核心素养下的教学设计中有以下几点思考：

（1）教什么：在教学设计中，首先我们要明确我们的教学目标是什么，有了目标也就有了方向，我们要依据课标合理选择所要教学的内容，在教的过程中，不仅仅有看得见的显性目标，也要注重隐性目标，数学核心素养不能停留在内隐层面，不能只是空洞的概念，隐性的目标可以借助显性的数学活动来体现[3]。

（2）怎么教：学生在学习的过程中要以自身的认知发展水平为基础，高中数学知识具有较强的抽象性，教师在教的过程中可以多结合一些实例，辅助学生理解抽象的数学知识.教师还可以借助一些教学工具，例如多媒体，几何画板软件等等，辅助教学，发展学生的核心素养，教师要精心设计问题，在问题中注重思维的养成。

（3）学什么：学会用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界[4]。

（4）怎么学：要注重概念的辨析，多进行比较，在掌握知识经验的基础上同化新的概念[5]可以借助思维导图进行学习，理清知识之间的关系，构建知识框架，还要多实践，实践是检验真理的唯一标准，将学习到的数学知识应用到生活中，数学来源于生活。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 胡云飞.“教什么”和“怎么教”是课堂教学落实核心素养的关键维度——以“直线与圆的位置关系”为例[J].数学通报，2019，58（11）：33-37.

[3] 徐解清.数学核心素养：从内隐走向外显——《直线和平面平行的判定》的教学思考[J].数学通报，2017，56（07）：24-27.

[4] 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（01）：35-37.

[5] 李俊玲，谢红梅.从概念教学中落实学生数学核心素养的发展[J].兵团教育学院学报，2021，31（02）：65-70.

作者简介：

李兆庆：（1998.10—），男，汉族，山东济宁人，教育硕士。