关注数学理解，促运算能力提升——以《分数乘分数》教学为例

○陈新涛

编者按：运算教学中应该抓住知识本质，以图明理，借助数形结合，帮助学生将所学的知识结构化，形成知识体系，深化数学理解。

运算能力是学生必备能力之一，是学生学习数学的基础，也是日常生活必需的基本技能。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“运算能力”作为十大核心概念提出，“数学运算”也被数学教育界的专家们认为是数学核心素养的一个重要方面。

在小学数学知识学习过程中，分数一直是学生学习的难点，分数乘法运算意义更是抽象难以理解。在分数乘法的运算中，若想提高分数乘法的计算能力，首先就要帮助学生实现对分数乘法意义的理解。课程标准中也明确强调应当重视学生是否理解运算的原理，是否能准确地得出运算结果，可见计算教学中的“理解算理”尤为重要。

然而，通过大量的课堂观察可知，“分数乘法的意义理解”在现实教学中严重缺失，严重影响学生运算能力的培养。具体缺失表现在如下几个方面：

（1）浅层次性。即理解比较肤浅，不够深入。比如只通过例题进行浅层次的学习迁移，而缺少对分数乘法意义的深入理解。

（2）单一性。学生对分数乘法的理解方式单一，认为只要会计算就算掌握了，这也是为什么遇到稍复杂的分数乘法问题就无从下手的原因。

（3）呆板性。学生对知识的理解缺乏灵动性，只会解决比较呆板的问题，对分数乘法的认知属于片状的零散理解。

“分数乘法的意义理解”的重要性及其在现实教学中的缺失状态，要求教师在日常教学中，根据学生的学习特点、理解水平帮助学生获得运算意义的理解，根据课标要求和教材精心设计教学内容，选择合适的教学方式，以此唤醒学生已有的数学活动经验及生活经验，让学生在轻松愉悦中主动建构自己对于分数乘法意义的理解，进而实现运算能力的提升。

一、以图明理，初步实现数学理解

小学阶段的数学学习主要以直观形象为主，对于一些较难理解的数学问题，教师可以借助直观模型、动手操作或者画图等便于学生理解的学习方式，帮助学生实现数学理解。

教学《分数乘分数》一课，笔者有意识地借助“图”丰富“分数乘分数”的原型，从而帮助学生初步实现数学理解。为此设计了如下的学习任务：

任务1：解决问题

张师傅准备在一块长方形空地上种各种蔬菜。他打算拿这块空地的种西红柿，后来觉得西红柿种得太多了，想从中拿出种黄瓜，黄瓜占这块空地的几分之几？

这是一道常规的分数乘分数的问题，学生根据乘法意义不难列出乘法算式，列出的乘法算式表示的就是的是多少。事实上，乘法的意义除了表示求几个相同加数的和，还可以求表示一个数的几倍是多少的问题。显然选择这个情境能够让学生感受到求的是多少相当于求的倍的问题，只是通常情况下我们习惯把“倍”去掉，但依然符合乘法的意义，学生有了分数乘整数的学习经验后，自然会迁移到分数乘分数中来。

这里选择给学生提供一个长方形图，其目的是为了给学生搭建一个学习的扶梯，尤其是给需要帮助的学生提供一个脚手架，促使他们能够独立解决问题。学生可以在已有的长方形图上进行分析，在画图的过程中再次明晰分数乘法的含义，感受分数乘法的运算意义。同时，长方形图还能启发学生遇到问题时可以借助“图”来帮助分析和理解问题，这不仅是对问题解决能力的提升，更是对学习方法和策略的点拨和提炼。

教材中所提供的情境以及各种各样的学具都能够较好地促进学生对运算意义的理解。此外，教师还要帮助学生积累丰富的生活经验，促进学生更好地实现数学理解。比如，在加、减、乘、除四则运算的教学过程中，加法可以作为合并、增加、继续数等模型；减法可以作为剩余、减少、往回数等模型；乘法可以作为相同加数的和、面积计算、倍数等模型；除法可以作为平均分、比率等模型。教师可以帮助学生积累丰富的原型，以“图”明理，建构对四则运算的理解。

二、几何直观，实现“理”“法”共进

几何直观，是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。借助几何直观说理，可以为课堂提供丰富直观的资源。教学中，教师应准确把握学生的认知起点，紧扣知识本质，引导学生主动沟通算理和算法。只有明晰了算理，才能融会贯通、灵活运用算法。

六年级学生已经学习过整数乘法、小数乘法、分数加减法、分数乘整数，为分数乘分数的学习打下了坚实的基础。教师要充分相信学生，给学生充分的时间和空间，让他们自主研究分数乘分数的算理和算法。

教学《分数乘分数》一课，笔者设计了如下的学习任务：

任务2：看图写算式并尝试写出结果。

这个任务看上去只是简单的看图写算式，实际上是为了促进学生对分数乘分数模型的主动建构。学生对分数乘法的认知呈现呆板性，缺乏灵活性，主要原因在于没有实现分数乘分数的数学理解。因此在学生看图列出分数乘法算式后，教师要引导学生用自己的语言表达对乘法算式的理解，看图对乘法运算意义的本质进行解释和描述。有了几何直观的支撑，学生不仅能说出运算的结果，而且还能清楚地知道结果是怎样得出来的。

需要说明的是，这里设计的线段图不是抽象剥离出具体的情境，而是纯数学意义上对分数乘法的一种表征。学生列出算式后会在头脑中留下这幅线段图的样子，进而对这道乘法算式有了深刻的理解，在已有认知基础上循“理”入“法”。

在组织汇报环节，教师重点引导学生根据自己的研究回答两个问题：为什么用分母乘分母相乘的积作分母？为什么用分子与分子相乘的积作分子？学生自然会借线段图来说理，在说理的过程中，学生会将线段图进行扩充，找到积的分母的原型，最终理解为什么要用3×5算出15作为积的分母。这是很多教师容易忽视的地方，也恰恰是帮助学生真正理解算理的重要环节。

曹培英先生曾指出：算法和算理是构成运算教学的双翼。运算能力的培养是以理解算理为基础，而不是仅仅掌握算法进行正确地计算。运算能力的发展需要在理解的基础上巧思活用，而不是依靠机械的重复训练达到一定的熟练程度。因此在计算教学中，应该将二者有机结合，在理解算理的基础上发现算法、掌握算法。借助几何直观帮助学生直观理解算理从而发现算法，目的就是将“算理”和“算法”进行融合，实现“理”“法”共进。

三、数形结合，理解运算的意义

学生获得数学理解应该是对直接经验和间接经验的加工，当学生获得数学理解的同时一定经历了概念抽象，或者相关定义、法则概括及其他新知构建的过程，这个构建过程就是学生对于原有经验和现有经验加工的整合。因此，数学知识的教学应注重学生对所学知识的理解及理解程度，体会数学知识之间的关联。数形结合可以通过“以形助数”或“以数解形”的方法，将复杂问题简单化，将抽象问题具体化。

在《分数乘分数》的教学中，笔者设计了如下的学习任务：

任务3：画图并探索出结果。

这样的设计看上去只是简单的一道计算题，但要求画图探索出结果，就明确让学生用数形结合的思想理解运算的意义，从而探索出运算结果。学生经历了充分的探究过程，用不同的表征方式展开个性化的研究，当他们体会到数形结合对理解分数乘法的意义和价值后，在解决问题时就会多一条思路，不会局限在某种固定的思维中，而是灵活选择学过的知识解决问题，逐渐学会触类旁通、融会贯通。

从学生呈现出的丰富多样的作品中可以看出，不同层次的学生均有了不同水平的表达，这正好凸显了学生个性化的理解。从学生作品中能关注到每一名学生的学习动态，是对“因材施教”的呼应，也是对“学科育人”的响应和落实。

四、整体架构，形成知识体系

美国教育家布鲁纳曾说：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”学科的基本结构是指该学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联。因此，教师在备课时，要主动帮助学生建构完整的知识体系，不仅有前后知识的关联，还有新旧知识之间的沟通。

就本节课而言，教师不仅要帮助学生打通新旧知识之间的关联，还要帮助学生认识各种不同的运算之间存在的关联，认识不同形式的运算之间的相同之处，以便学生掌握“算理”和“算法”，从整体上理解分数乘法运算的意义。

在《分数乘分数》的教学中，笔者设计了这样一道题：

这是一道简单的问题，背后却隐藏着教师设计的智慧。选择需要基于理解，而说理更是需要深度理解的支撑。在学生解决完问题后，教师并没有到此结束，而是顺势追问：仔细观察这两幅图有什么相同点和不同点？这个问题再次引导学生将目光聚焦到两幅图中，学生经历观察、对比和分析的学习过程，感受到虽然这两幅图两次涂色的过程不同，但是最后涂色的结果都是一样的，从而让学生感受到的动态形成过程，既可以表示的是多少，也可以表示是多少。这是分数乘分数中另一个难以理解的点，借助图可以帮助学生实现数学理解，最关键的是在一个完整的结构中让学生感受分数乘法的完整意义。

我们都知道，学生的学习倘若一直是固定的模式，会对知识整体结构造成定式甚至会带来负面的影响。上面的教学设计，将“分数乘分数”置于“乘法”的知识框架之中，引导学生借助图寻找乘法计算的共性，帮助学生初步体会无论是的还是，都可以用乘法算式来表达，同样的道理，算式也是如此，它们都表示求一个数是另一个数的几倍的数学问题。学生在这样的学习环境下理解分数乘法计算的本质，将分数乘法这部分知识结构化，从而真正促进学生“数学理解”的深度发生。

总之，核心素养下的数学运算教学，不仅仅是为了提高学生的运算速度和正确率，更重要的是让学生理解数学运算的意义，掌握数学运算的本质，优化数学运算的方法，将数学运算的知识进行结构化。唯有这样才能逐步提升学生的数学核心素养。

运算能力作为数学核心素养的重要方面，它的发展不是一朝一夕、一蹴而就的，需要教师把握知识本质，设计符合学生认知规律的学习任务，关注数学理解，从而促进学生运算能力的提升。

资料存盘

1.《分数乘分数》课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：

理解分数、小数、百分数的意义，掌握必要的运算技能；能进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）；能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性；经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程；能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。

2.我国古代的分数乘法。

在《九章算术》的第一卷“方田章”中，有关于约分、通分、分数加减法、分数乘除法、分数的大小比较、求分数的平均数等分数运算法则的记载。“方田”是讲田亩面积的计算，其中关于分数的乘法法则称为“乘分术”，是这样描述的：“乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。”这里的“实”是指分子，“法”是指分母，“实如法而一”就是用法去除实，进行除法运算。而且，《九章算术》还注意到了运算结果，如“不满法者，以法命之”，就是说，分子小于分母时便以分数形式保留。