基于系统可靠度理论的抗滑桩加固边坡稳定性研究

陈素玲，邢红杰，宋叶房，赵军红

(1.河南省地矿局 第三地质勘查院，河南 洛阳 471023； 2.中铁七局集团 郑州工程有限公司，河南 郑州 450000)

抗滑桩加固措施已经成为一种常用的边坡加固技术[1-2]。目前在边坡稳定性分析原理的应用上，无论是极限平衡法还是强度折减法，均利用安全系数来评估加固边坡的稳定性[3-4]。安全系数法具有概念明确和使用方便的优势，被众多工程技术人员使用[2，5]。在边坡实际工程设计中，受土体的变异性和测量误差等因素影响，土体参数难以完全准确确定，导致边坡稳定性分析中土体参数存在诸多不确定性[6]，从而导致边坡的安全系数也存在不确定性[7]。在这种情况下，采用单一的安全系数不能真实准确地反映边坡的稳定状态，由于可以定量考虑不确定性参数对边坡稳定性评价的影响，基于概率理论的可靠度分析方法在边坡稳定性评价中受到了重视[6，8-9]。当边坡土体参数不确定时，其最危险滑动面位置也不确定。因此，边坡可靠度分析中需考虑多个滑动面的存在，采用系统可靠度方法对其进行相关分析[10]。

最近研究表明，当边坡存在多个滑动面时，其可靠度常由相关性较小的少数代表性滑动面控制，边坡的系统可靠度可通过代表性滑动面进行求解[10-11]。现有边坡可靠度研究主要集中在无加固体的边坡稳定性分析上，抗滑桩加固边坡可靠度方面的研究还少见报道。其中，文献[12]基于给定滑动面进行了抗滑桩加固的可靠度分析，没有考虑多滑动面对边坡可靠度的影响。文献[13]基于土体从抗滑桩间产生的塑性流动、假定抗滑桩不失效情况下对抗滑桩加固边坡进行系统可靠度分析。在实际抗滑桩加固工程中，因土体从抗滑桩间产生塑性流动失效的现象较为少见，而抗滑桩因抗滑力不足导致边坡破坏是工程中更为关心的问题。目前，分析抗滑桩抗滑力大小对边坡系统可靠度影响方面的研究还非常少见。

本文的目的是提出基于可靠度理论的边坡抗滑力系统分析方法。首先介绍抗滑桩加固边坡的系统可靠度模型以及模型的求解方法，通过算例来研究不同因素对抗滑桩加固边坡系统可靠度的影响。

1 抗滑桩加固边坡系统可靠度模型

1.1 安全系数计算方法

抗滑桩加固边坡如图1所示。

图1 抗滑桩加固边坡的示意Fig.1 Schematic of slope reinforcement with anti slide piles

所采用的抗滑桩直径为D，抗滑桩中心距设为D1。当土体强度参数存在不确定性时，边坡的最危险滑动面位置也不确定。对于某一半径为R的圆弧滑动面，抗滑桩与滑动面相交处以上的埋置深度为h，相交处滑动面与水平方向夹角为α。为简单起见，可将抗滑桩的加固作用简化为与滑动面相交处的一个水平力V。文献[14]所列的简化毕肖普法作为计算边坡安全系数的常用方法，滑动面的安全系数Fs可根据式(1)计算：

(1)

式中，MV为由桩加固作用提供的力矩，如式(2)：

(2)

1.2 可靠度模型

假定抗滑桩距很小，土体不会从桩间产生塑性滑动破坏。此时，边坡将因抗滑力不足而产生失稳。假设边坡存在n条可能的滑动面。设x为土体不确定性参数，gi(x)为第i个滑动面上安全系数与变量x之间的关系。由于边坡沿任一滑动面滑动都会导致失稳，边坡的失效域可用式(3)来表征：

(3)

式中，mingi(x)为给定参数x条件下n条滑动面的最小安全系数，i=1，2，…，n。

令f(x)为不确定变量x的概率密度函数，根据可靠度理论，边坡的系统失效概率Pt按式(4)计算：

(4)

2 可靠度模型求解方法

2.1 基于代表滑动面的可靠度分析

为考虑n个滑动面对系统可靠度的影响，式(4)可采用蒙特卡罗抽样等方法求解。近年来的研究表明，虽然边坡存在大量的潜在滑动面，但只有少数滑动面对边坡系统可靠度起控制作用，这些滑动面通常被称为代表性滑动面。本文将采用代表性滑动面对边坡系统可靠度进行求解。在该方法可按下面步骤进行实施：①采用一阶可靠度方法计算单个滑动面的可靠度指标；②搜索代表性滑动面；③基于代表性滑动面的可靠度指标计算其失效概率。

2.2 一阶可靠度方法

令βi(V)代表抗滑力为V条件下、第i个滑动面的可靠度指标。根据一阶可靠度分析原理[15]，βi(V)按式(5)计算：

(5)

式中，y为x转换到标准正态空间中的变量；R为随机变量的相关矩阵。

本文采用简化毕肖普方法求解边坡安全系数，功能函数为隐式。对于给定的滑动面，其安全系数与输入参数之间的关系往往具有很好的线性关系[16]。为方便式(6)中可靠度的求解，可用如下二次多项式来模拟第i个滑动面安全系数与输入参数之间的关系：

(6)

式中，r为随机变量的数量；aj(j= 0，1，…，2n)为待定系数，其中总共有2n+1个待定系数，对应需要2n+1个取样点来确定这些待定系数的值。

将取样点代入到数值分析软件中，获取对应的安全系数，从而逆向求取待定系数的值。

2.3 代表性滑动面的确定

对于同一个边坡，位置相近的滑动面间的安全系数是高度相关的。因此，尽管一个边坡可能有无数个滑动面，系统失效概率实际上由少数的代表性滑动面决定[17]。不同滑动面安全系数的相关性可通过相关系数来衡量：

(7)

式中，ρAB为滑动面A和滑动面B间的相关系数；yA、yB分别为其标准正态空间中设计点构成的向量；βA、βB分别为滑动面A和滑动面B的可靠度指标。令ρ0表示判别滑动面安全系数的相关性阈值。获取不同滑动面安全系数的相关系数后，代表性滑动面可按下述流程来识别[10]，如图2所示。

图2 选取代表滑动面流程Fig.2 Select representative sliding surface process

2.4 系统失效概率计算

获取所有代表性滑动面后，结合文献[18]提出的窄界算法、文献[19]提出的联合失效域算法等，综合使用多种方法计算系统失效概率。本文采用文献[20]提出多失效模式系统可靠度方法进行系统失效概率计算：

pf(V)=1-φn{-β1(V)，-β2(V)，…，

-βn(V)；λ}

(8)

式中，βi为第i个代表性滑动面的可靠度指标；φn为n重联合正态分布累积函数；λ为不同设计点间的相关系数矩阵。

3 算例分析

结合图3示例的双层土模型来论证本文所述方法，设定2层土的土体重度为19 kN/m3。假定c1和φ1为上层土体的黏聚力和内摩擦角，令c2和φ2为下层土体的黏聚力和内摩擦角。假定示例中的不确定性强度参数均服从对数正态分布且统计独立。在响应面拟合过程中，设置仿真步长为2.03。示例的边坡强度参数见表1。

图3 边坡几何示意Fig.3 Schematic of slope geometry

表1 边坡的强度参数Tab.1 Strength parameters of slope

未加固求解的代表性滑动面[21]如图4所示。由图4可知，当边坡不采取加固措施时，其系统可靠度由2个代表性滑动面控制，其可靠度指标分别为0.297、2.319。此时，边坡的系统可靠度指标βs和失效概率Pt分别为0.282和38.9%，失效概率较大。为论证抗滑桩的加固效果，假定所布抗滑桩的直径D取1 m，间距D1取1 m、抗滑桩距坡角距设置s=12 m，每根抗滑桩提供的水平抗滑力约1 000 kN。采用本文方法分析后，此时边坡具有2条代表性滑动面，如图5所示。由图5可知，由于受到抗滑力的干预，2条代表性滑动面的位置和未加固时代表性滑动面的位置有显著区别。此外，加固后2条代表性滑动面的可靠度指标分别为2.360 和3.304，对应的可靠度指标βs和系统失效概率Pt分别为2.340和1.0%，降低了失效概率。

图4 未加固求解的代表性滑动面Fig.4 Representative sliding surface for unreinforced solution

图5 加固求解的代表性滑动面Fig.5 Representative sliding surface for reinforcement solution

3.1 桩位置对系统可靠度的影响

为详细探讨抗滑桩的位置对系统可靠度的影响，图6给出桩径D=1 m、桩间距D1=1 m，水平力V=1 000 kN条件下，抗滑桩加固位置和坡脚的距离s分别为4、8、12、16、20、24 m时代表性滑动面和其可靠度指标。

图6 抗滑桩位置对系统可靠度的影响Fig.6 Influence of anti slide pile position on system reliability

由图6可知，当s取4、8 m 时，仅穿越上层土体的代表性滑动面2保持不变，而代表滑动面1的可靠度指标β1增大，系统可靠度指标βs相应增加；当s取12 m时，抗滑桩开始同时影响2个代表性滑动面，系统的可靠度指标取βs=2.340；当s设置16 m和20 m时，仅存在1个代表性滑动面，而系统的可靠度指标βs呈现下降趋势，分别2.333和2.207；当s取24 m时，抗滑桩位于坡顶，其代表性滑动面位于抗滑桩加固范围外，系统的可靠度指标βs降为0.660。图7显示了直径D=1 m、间距D1=1 m、水平力V=1 000 kN条件下的边坡可靠度指标和抗滑桩位置s间的关系。由图6可知，当抗滑桩位于距坡脚s=12 m时，边坡的可靠度指标达到最优。此外，图7还反映了边坡的系统可靠度取决于最小的可靠度指标的代表性滑动面，即说明边坡的可靠度具有明显的系统效应。则采用最危险的滑动面的可靠度指标来衡量边坡的可靠度偏于危险。

图7 不同代表性滑动面可靠度指标 和系统可靠度指标对比Fig.7 Comparison of different representative sliding surface reliability indexes and system reliability indexes

3.2 抗滑力对系统可靠度的影响

为了进一步分析抗滑力对边坡的稳定性影响，桩径D=1 m、桩间距D1=1 m条件下边坡系统的可靠度指标同抗滑力和抗滑桩位置的关系如图8所示。在给定抗滑力条件下，边坡系统的可靠度指标随抗滑桩位置变化呈先增大后减小趋势，即存在一个最佳加固位置。文献[20]论证了路基边坡的目标可靠度指标为2.3。为减小桩长，在荷载为1 000 kN时，图8中s=12 m作为最佳设计方案。

图8 不同加固荷载条件下边坡系统 可靠度指标随桩位置变化Fig.8 Reliability index of slope system varies with pile position under different reinforcement load conditions

4 结语

鉴于抗滑桩加固边坡的工程问题，本文提出了一种基于可靠度理论的边坡抗滑力分析模型，结合代表性滑动面分析原理建立了相应求解方法。算例分析表明，抗滑桩对边坡的代表性滑动面位置和可靠度指标具有重要的影响；在同等的抗滑力下，抗滑桩加固边坡存在一个最优的加固位置。所提方法适用于基于可靠度理论确定抗滑桩的加固位置和抗滑力，有助于抗滑桩加固边坡的工程设计。