集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度计算方法

摘要：  为研究集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度，将矩形弹性薄板等效成双向正交板条，以板条宽与板宽的比和载荷作用位置为参数，研究板的长宽比与板刚度的关系。以实际工程中常见的剪力墙尺寸为例，给出计算板刚度的拟合公式，并进行有限元验证，证明拟合公式误差较小。

关键词：  四边固接; 薄板; 刚度; 双向正交板条

中图分类号：  TU392; TB115.1文献标志码：  B

Stiffness calculation method of rectangular thin plate with

four edges fixed under concentrated load

SU Zhe

（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： To study the stiffness of rectangular thin plates with four edges fixed， the rectangular elastic thin plate is equivalent to a two-way orthogonal strips. Taking the strip width to plate width ratio and load action position as parameters， the relationship between length-width ratio and plate stiffness is studied. Taking the common shear wall size in practical engineering as examples， the fitting formula for calculating plate stiffness is given. The fitting formula is verified by finite element， and the error of the fitting formula is small.

Key words： four edges fixed; thin plate; stiffness; twoway orthogonal strips

作者简介： 苏哲（1990—），男，山东东营人，硕士研究生，研究方向为钢结构受力，（E-mail）1959885624@qq.com0引言

高层建筑塔式起重机需要通过附着装置连接到建筑结构上，当起重机与剪力墙相连时，剪力墙要给起重机附着装置以支撑约束，而剪力墙刚度将直接决定支撑力大小，因此有必要提供一种计算刚度的简便算法。

董文堂[1]通过纳维叶解法推导均布载荷作用下四边固支矩形薄板挠度解析表达式，且提出将均布载荷换为集中载荷的方法，但并未展开分析。钟阳等[2]利用辛几何法，通过Hamilton正则方程，得出均布载荷作用下四边固支弹性矩形薄板挠度表达式。肖闪闪等[3]将四边固接板分解为四边铰接、两对边分别加弯矩、另两对边分别简支等3种形式，通过叠加3种形式的挠度，推导集中载荷作用下四边固支正交各向异性矩形板线性弯曲的挠度求解公式。乐金朝等[4]利用广义简支边界条件，应用叠加法给出用于求解任意载荷作用下四直边上任意点支承矩形板弯曲问题的基本解。黄炎[5]建立弹性薄板弯曲的基本微分方程一般解，由边界条件直接求解的方式给出矩形弹性薄板弯曲问题的解析解。陈际丰等[6]利用有限元软件与规范中面板在集中载荷作用下的内力值相比较，对偏置载荷作用下弯矩计算宽度的限制条件进行修改。杨成勇等[7]从纳维叶解法出发，以带补充项傅里叶级数为函数，推导出四边矩形板不同支承情况下的挠度表达式。米筠[8]运用功的互等法求解四边固定弹性地基矩形薄板的挠曲方程。

上述文献要么与研究问题间接相关，要么计算过程繁琐，对于求集中载荷作用下四边固接板挠度的简单实用公式研究暂未发现，因此，本文研究旨在给出集中载荷作用下四边固接薄板刚度的简便公式，使塔机附着装置安装等实际工程的刚度计算更方便。

1计算模型简化

选择Ansys软件进行有限元模拟，单元选择不考虑剪切变形的SHELL63壳单元，混凝土标号选择常用的C40，其弹性模量为3.25×10⁴MPa，泊松比为0.3，集中载荷为10 kN。选择3 000 mm×3 000 mm×300 mm、2 800 mm×2 000 mm×200 mm、3 600 mm×2 000 mm×200 mm、4 000 mm×2 000 mm×200 mm的板与经典板壳理论文献[9]中表37的板中心挠度进行对比，最大误差为0.236%，误差较小。

将四边固接矩形弹性薄板简化为2条两端固接的双向正交板条（见图1），使板一点处挠度的求解简化为两条正交板条挠度叠加的求解。令二者挠度值相等，假设等效的2条正交板条宽度均为B，由结构力学知识计算出载荷任意作用位置处等效的板条宽度[10]。

2板条宽度

3参数设置

3.2载荷作用位置

由大量有限元模拟分析结果可知，随着载荷作用位置的不同，板条宽与板宽比u在板中的分布具有一定规律性，u与载荷作用位置之间的关系可用u与c/l₂表示。根据板的对称性，可取板的1/4分析，载荷作用位置示意见图2。

4不同长宽比板的刚度计算公式

4.1u分布规律研究

经过对不同长宽比（l₁/l₂）板u值的大量模拟分析发现，当板为方形板时，u值既关于双轴对称，又关于对角线对称，且在板中部的一定方形区域内，u在某个值附近变动，之后随着板长宽比的增大，u值稳定的区域变小。当板的长宽比达到一定值时，u值稳定的区域消失，而沿板长方向u值稳定在某个数值的范围越来越大。此时，u值的分布特点为沿板宽方向，越靠近板边缘数值越小。在一定范围内，u值沿板长方向变化不大，因此可将板按长宽比分不同情况进行拟合。对于长宽比为[1.0， 1.3）的板， u值在板中部变化不大，可将板的长宽比作为自变量，将有限元模拟计算的u值作为因变量進行公式拟合;长宽比为[1.3， 3.0]的板，则将c/l2作为自变量，将u值作为因变量进行公式拟合。

根据载荷作用位置等效得到u的分布规律，对长宽比为[1.0～3.0]范围内的板，分3种情况进行分析。根据楼层中常见剪力墙尺寸，选取3 000 mm×3 000 mm×300 mm、3 000 mm×2 000 mm×200 mm、5 000 mm×2 000 mm×200 mm的板对公式进行对比验证。由于四边固接板为双轴对称，故可取1/4板的代表性点进行验证。

4.2分情况拟合及验证

4.2.11.0≤（l₁/l₂）<1.3的情况

4.2.21.3≤（l₁/l₂）<2.0的情况

度公式计算值与有限元值吻合较好。图4～5矩形虚线内阴影区域对称位置的刚度可由板的对称性求得。考虑到常见剪力墙尺寸及塔机附着锚固构件尺寸，图3～5板中矩形虚线以外区域相对于整个板尺寸较小，可近似看成刚度无穷大。

5结论

将四边固接矩形弹性薄板简化成双向正交板条是可行的，且拟合的刚度计算公式较为简便实用。不同長宽比的板可分别按照不同的公式计算刚度。本文拟合的刚度计算公式精度可靠，可用于计算实际问题。参考文献：

[1]董文堂. 固支边矩形薄板的纳维叶解法[J]. 黄石高等专科学校学报， 1999， 15（8）： 1-4.

[2]钟阳， 李锐， 刘月梅. 四边固支矩形弹性薄板的精确解析解[J]. 力学季刊， 2009， 30（2）： 297-303.

[3]肖闪闪， 陈普会. 集中载荷下四边固支正交各向异性矩形板的线性弯曲问题[J]. 工程力学. 2015， 32（6）： 28-32. DOI： 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.12.1178.

[4]乐金朝， 刘雄， 谷胜利， 等. 集中载荷作用下四直边上任意点支承矩形板的弯曲[J]. 郑州工业大学学报（自然科学版）， 2001， 22（4）： 5-9. DOI： 10.3969/j.issn.1671-6833.2001.04.002.

[5]黄炎. 矩形薄板弹性弯曲问题的一般解析解法[J]. 应用数学和力学， 1987， 8（8）： 689-696.

[6]陈际丰， 章少兰， 仲维亮. 集中载荷作用下板的弯矩计算[J]. 水运工程， 2021（10）： 184-187. DOI： 10.3969/j.issn.1002-4972.2021.10.033.

[7]杨成勇， 马文辉， 韩薛果， 等. 局部均布载荷作用下四边支承矩形板的内力计算[J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2020， 47（11）： 114-119. DOI： 10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2020.11.013.

[8]米筠. 集中载荷作用不同边界条件下弹性地基板的弯曲[D]. 秦皇岛： 燕山大学， 2016.

[9]TIMOSHENKO S， WOINOWSKY-KRIEGER S. 板壳理论[M]. 《板壳理论》翻译组，译. 北京： 科学出版社， 1977： 217.

[10]朱慈勉. 结构力学[M]. 北京： 高等教育出版社， 2004.