有限群的F *-子群与可解性

何家文

(南宁学院通识教育学院 广西南宁 530200)

在对有限群结构的研究中，利用子群的特性来确定有限群的结构以及探讨群的性质，是有限群论研究的重要方向之一，也是有限群论研究的常用方法之一。利用子群的可补性探索有限群的结构是目前有限群论研究重要的研究课题之一，而有限群Hall-子群，Fitting子群，广义Fitting 子群，Sylow-子群的极大子群、2-极大子群、极小子群等都是非常重要的子群，它们在有限群结构的研究中起到了非常关键的作用。一直以来，群论学家主要从多个方面推广了可补性，提出了许多弱可补性的概念，利用上述子群的弱可补性，得到了很多有限群结构的经典刻画。这对有限群论的发展起到重要地推动作用，形成了一个独具特色的研究热点。

利用子群的可补性能很好地刻画有限群的结构。群G的子群H称为在G中可补的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K=1。1937 年，P.Hall 在文献[1]中证明了G可解的充分必要条件是G的每个Sylow 子群在G中可补。

近二十年来，人们对子群可补性条件不断地减弱，提出很多新的概念。2000 年，王燕鸣和Ballester-Bolinches A等人[2-3]提出了C-可补子群，称群G的子群H在G中C-可补的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG表示包含在H中的G的极大正规子群，并利用Sylow子群及其极大子群的C-可补性，获得了有限群的超可解性和可解性的结论：设G是一个有限群，N是G的一个正规子群，使得G/N是超可解性，如果N的每一个Sylow-子群的每一个极大子群在G中是C-可补的，那么G是超可解群；若G是一个有限群，则群G是可解群的充分必要条件是群G的每一个Sylow-子群在G中是C-可补的。

随后，许多学者分别利用极小子群和素数幂阶子群等子群的G-可补性，研究了有限群结构，得到了一系列丰富的成果，如：韦华全、王燕鸣和李样明[4]利用有限群的Sylow-子群的极大子群和极小子群的C-可补性，获得了结论：若F 是一个包含U的饱和群系，假设G是一个群，H是G的一个正规子群，使得G/H∈F。（1）若F*（H）的任一个Sylow-子群的所有极大子群都在G中是C-可补的，则G∈F；（2）若F*（H）的所有极小子群和所有4 阶循环子群都在G中是C-可补的，则G∈F。

钟祥贵[5]利用有限群的素数幂阶子群的C-可补性，获得了有限群的p-超可解群的判定：设p是一个素数，H是群G的一个正规子群，使得G/H∈U。如果H的所有Sylow-子群的所有极大子群都在G中是C-可补的，H是p-可解群且p-长最多为1，则G∈F。Mohamed Asaad[6]利用有限群G的正规p-子群P的极大子群的c-可补性，获得了正规p-子群P∊ZU(G)。

文献[7]利用C-可补性概念，研究了有限CN-群和有限C-可补群的性质。2006年，韦华全[8]推广了C-可补子群，给出了C*-可补子群的概念，群G的子群H称在G中C*-可补的，如果存在G的子群K，满足G=HK且H∩K是G的S-拟正规嵌入子群。2016 年，韦华全、杨立英和董淑琴[9]利用Sylowp-子群的极大子群的C*-可补，通过将群G局部化为NG（P）及对Frattini 子群的限制，获得了有限群的p-幂零性的新刻画：设F是一个包含U的饱和群系，H是群G的一个正规子群，使得G/H∈F，若F*（H）的任一个Sylow-子群P的每一个极大子群都在NG（P）中是C*-可补的，且对于某个Φ，满足P′≤Φ ≤Φ(NF*(H)(P))，则G∈F。

2000 年，Bianchi M、Mauri A G B、Herzog M 等人[10]提出了H-子群，称群G的子群H为G的H-子群，如果对于群G中所有元素g都满足Hg∩NG（H）≤H。

2004 年，Csörgö P、Herzog M[11]利用H-子群的概念，获得了结论：如果群G的所有素数阶或4阶循环子群是G的H-子群，则G是超可解的；一个A-群G是超可解的充分必要条件是G的所有Sylow-子群都是由G的循环H-子群生成的。

2010 年，郭秀云和魏先标[12]利用群G的Sylow-子群的非平凡的真子群是H-子群，获得了有限群为超可解群的结论：若G是一个奇阶群，如果G的每个非循环Sylow 子群P有一个子群D满足1<|D|<|P|，且P的每个|D|阶子群都是G的H-子群，则G是超可解群。

2017 年，Mohamed A[13]利用H-子群，进一步减弱C-可补子群的条件，提出了弱C-可补子群的概念，称群G的子群H在G中弱C-可补的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K∈H(G)，其中H(G)表示G的所有H-子群组成的集合，并研究了素数幂阶子群的弱C-可补性对有限群的p幂零性的影响。

2018 年，Al-Gafri T M、Nauman S K[14]利用S-可置换子群，进一步推广了H-子群，提出了SSH-子群的概念，称群G的子群H为G的SSH-子群，如果G有一个S-可置换子群K，使得HsG=HK，且对于群G中所有元素g都满足Hg∩NK(H)≤H，其中HsG是G中所有包含H的S-置换子群的交。利用SSH-子群，文献[14]利用sylow 子群的极大子群和极小子群为SSH-子群讨论了有限群的p-幂零性和超可解性。文献[15]利用素数阶SSH-子群，进一步研究了有限群的p-幂零性，得到了若干刻画条件。文献[16]利用局部化条件下群G的素数幂阶子群在NG（P）中是SSH-子群，研究了有限群的结构，获得了有限群的p-幂零性的新判定。

2005年，缪龙和郭文彬[17]利用群系理论，从另一角度推广c-可补子群，引入了F-s-可补子群的概念。设F是一个群类，称群G的子群H在G中F-s-可补的，如果存在G的一个子群K，使得G=HK且K/(K∩HG)∈F，并利用极大子群和2-极大子群的F-s-可补性，给出了有限群的性质和结构的刻画。在此基础上，文献[18-20]利用准素数子群和极小子群的F-s-可补性，进一步讨论了有限群的性质，获得了有限群G为超可解群，p-幂零群和可解群的一些判别准则。

2010 年，钟祥贵、张洪和何家文等人[21]受到F-s-可补子群的启发，提出了F*-子群的概念，并利用群G的Sylow子群的极大子群为F*-子群，获得有限群G为超可解群的若干判定：如果有限群G的Sylow子群的每个极大子群都是G的U*-子群，则G∈F；设G是有限群，H是G的正规子群，使得G/H∊U，且H的Sylow 子群的极大子群都是G的U*-子群，则G∊F。何家文等人[22]利用群G的Sylow 子群的极大子群和2-极大子群讨论了有限群的p-幂零性，获得若干判定准则。该文在上述研究的基础上，利用群G的素数幂阶子群，讨论F*-子群对有限群G的可解性的影响。

该文中所有群均为有限群，|G|表示群G的阶，|G:H|表示G的子群H在G中的指数，π（G）表示能整除G的阶的素数集合，Op（G）表示G中最大的正规p-子群。设F 是一个群类，称F 是一个群系，（1）若G∈F，N为G的正规子群，则G/N∊F；（2）若N1，N2为G的正规子群，G/N1∊F，G/N2∊F，则G/(N1∩N2)∊F。称F 是一个饱和群系，若G/Ф(G)∊F，可推出G∊F。S表示可解群系；Sp表示p-可解群系；Np表示p-幂零群系；F（G）表示群G的Fitting 子群，F*（G）表示群G的广义Fitting子群，其他未交待的定义和符号都是标准的，可以参考文献[23]。

1 定义及引理

定义1[20]设F是一个群类，称群G的子群H为G的F*-子群。若存在G的正规子群B，使得HB是G的正规子群，且B/（B∩HG）∈F，以及对于满足（q，|H|）=1的任一素数q，B都包含G的一个Sylowq-子群，其中HG=∩g∊GHg是包含在H中的G最大正规子群。

引理1[20]设F 为一个商群闭和子群闭的群类，G为有限群，N为G的正规子群，则

（1）若H是G的F*-子群，且H≤K，则H是K的F*-子群。

（2）若H是G的F*-子群，H是p-群，则HN/N是G/N的F*-子群。

（3）若N≤H，且H/N是G/N的F*-子群,则H是G的F*-子群。

引理2[22]设。则群G为可解群当且仅当对于任意i=1，…，s，G中存在子群。

引理3[22]若群G中存在π-可解正规子群N，使得G/N为π-可解群，则G是π-可解群。

引理4[22]如果群是π-可解群，则G中存在π′-Hall子群。

引理5[22]设N为G的正规子群，N和G/N均为可解群，则G为可解群。

引理6[21]设P是G的Sylowp-子群，其中p为|G|的素因子,若P的每个极大子群都为G的Np*-子群，则G/Op（G）是p-幂零群。

引理7[21]设P是G的Sylowp-子群，其中p为|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每个2-极大子群都为G的Np*-子群，则G/O（pG）是p-幂零群。

2 主要结果

定理1 有限群G可解的充要条件是对于|G|的任一素因子p，都存在G的一个p-子群P为G的子群。

证明 首先证明必要性。如果G为p-可解群，则对于G的p-子群P，有

G=PG，且G/（G∩PG）∈Sp，

从而P是G的子群。

下面证明充分性。设P为G的一个p-子群且是G的子群。根据定义1 知，存在G的正规子群B，使得PB是G的正规子群，且B/（B∩PG）∈Sp，以及对任意不等于p的素数q，B都包含G的一个Sylowq-子群。由于B∩PG是p-可解群，根据引理3，故B是p-可解群，再由引理4可知，B中存在p′-Hall子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群，即Bp′=Gp′。由p的任意性和引理2，可知G是可解的。

定理2 设H是G的子群且|G:H|为素数q的方幂，如果H的任一Sylow 子群都是G的S*-子群，则G是可解群。

证明 令p∈π（H）且p≠q，设P是H的任一Sylowp-子群，由|G:H|为素数q的方幂，知P也是G的一个Sy‐lowp-子群。由假设，P是G的S*-子群，依定义1，存在G的正规子群B，使得PB是G的正规子群且B/（B∩PG）∈S，以及对任意不等于p的素数q1，B都包含G的一个Sylowq1-子群。由B∩PG可解，B/（B∩PG）可解及引理5，知B可解。再由引理2，知B中存在p′-Hall 子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群。如果q不整除|H|，由|G:H|为q的方幂，知H为G的q′-Hall 子群。于是对于任一p∈π（G），G中都有p′-Hall 子群。应用引理2 知G可解。如果q整除|H|，且设Q是H的一个Sylowq-子群。则由条件，知Q是G的S*-子群。依定义1 可知，存在G的正规子群K，使得QK是G的正规子群，K/（K∩QG）∈S，以及对任意不等p的素数q2，K都包含G的一个Sylowq2-子群。于是K可解，从而K有q′-Hall 子群Kp′，此时Kp′也是G的一个q′-Hall子群，再由引理2知，G是可解群。

定理3 设P是G的一个Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每个极大子群都是G的子群，那么G/Op（G）是可解的p-幂零群，进一步G可解。

证明 首先，由引理6可知，G/Op（G）是幂零的。其次，若p=2，那么G/O2（G）是2-幂零的，从而G存在正规2-补G2′，使得

G=PG2′且P∩G2′=1。

又由Feit-Thompson 定理知，G2′可解。于是G可看成是可解群G2′被可解群P的扩张，从而G可解。若p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G为奇数阶群。再由Feit-Thompson 定理知，G可解，从而G/Op（G）是可解的。于是G/Op（G）是可解的p-幂零群。最后，由Op（G）是可解的和引理5知G可解。

定理4 设P是G的一个Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每个2-极大子群都为G的子群，那么G可解。

证明 如果p=2，则由引理7 知G/O2（G）是2-幂零的。类似定理3 的证明，可知G/O2（G）是可解的，再由O2（G）是可解的和引理5 知，G可解。如果p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G为奇数阶群，再由Feit-Thompson 定理知，G可解。

3 结语

该文主要利用有限群G的子群H的Sylowp-子群及其极大子群和2-极大子群在G中为F*-子群来研究有限群的可解性，获得了有限群为可解群的若干准则，丰富了有限可解群理论。