用样本的频率分布估计总体分布案例分析

孙五林　柳应康

摘要：时至霜降，寒意已浓，赛课研讨，正酣火热.2021年10月29日，基于核心素养下的达州市高中数学优质课比赛活动在达州铭仁园中学举行，比赛云集了各区县和市直属中学的各路高手，比赛激烈程度如同神仙打架.作为我校的高中数学教研组长，我思考得比较多的是我校选手怎样在众多选手中脱颖而出呢？什么样的课才是优质的课呢？我想，创新是唯一的出路，紧扣时代核心问题，落实五育并举，彰显灵趣课堂，突出数学学科的本质，数学与德育相结合，数学与生活相结合，这样的课方能出彩.

关键词：赛课案例;核心素养;优质课堂

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）09-0067-04

收稿日期：2021-12-25

作者简介：孙五林，高中一级教师，从事高中数学教学研究.

柳应康，硕士，高中一级教师，从事高中數学教学研究.

我校积极推行课堂教学模式改革，每个老师的课堂都采用五导四动的课堂教学模式，现把这堂课呈现给大家.

1 课前导学（阅读教材65-68页并完成填空）

导语：统计学的基本思想是用样本估计总体，通过样本的基本特征来估计总体的基本特征，进一步为我们作出更好的决策.

（1）分析数据的基本方法有：_____________.

（2）极差是一组数据的的差________，它反映了一组数据__________.

（3）频数、频率：将样本中的数据按要求分为若干组，对各个小组内数据的累计__________，这个累计数叫做各个小组的__________，各个小组的________除以______________，即得该小组的_________.

（4）组距和组数的确定____________（有/没有）固定的标准，组距等于__________;一般分组的组数与___________-有关;样本容量越大，分组组数越________，样本容量越小，分组组数越___________.

（5）在频率分布直方图中，纵轴表示__________，各小长方形的面积等于__________，所有长方形面积之和等于___________.

本环节分析：课堂导学是指课前学生按照导学案要求进行自主预习，完成知识梳理和小题练习.这样设计的目的在于提前让学生对本节的概念有一个预知，不会对某些新概念感到陌生.

2 讨论导习

讨论导习是指上课后，老师对课前自主学习内容进行讨论交流，目的是解决学生自主学习中存在的问题.

2020年6月19日，我国陈薇院士带领的疫苗研发团队发布了50位志愿者在接种了试验疫苗以后血清中的抗体GMT倍增比值情况，如表1：

问题1：以上50个数据，同学们能直接得出哪些信息？

问题2：上述50个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？

问题3：为了更加清晰的呈现数据规律，同学们会怎样整理和分析数据？

问题4：对样本数据进行分组，其中组数由哪些因数决定？

问题5：将上述50个数据按组距为“4”分组，能分成多少组？按照组距为“5”分组，能分成多少组呢？

问题6：各组数据的取值范围（分段点如何归属）可以如何设定？

上述50个数据在各组中的频数是多少？频率是多少？你能将这些数据用表格反映出来吗？ （请同学们分小组合作完成表2）

为了直观的反应样本数据在各组的分布情况，类比频数分布直方图，将上面频率分布表中的有关信息用直方图的形式画出.

问题7：在频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？小长方形面积之和为多少，为什么？

问题8：频率分布直方图非常直观的反应了样本数据的分布情况，你能根据频率分布直方图估计志愿者接种试验疫苗以后抗体GMT倍增比值的一些分布特点吗？

问题9：如果食药监局希望有90% 左右的接种者能达到抗体GMT倍增比值标准，根据频率分布直方图，你对此标准制定有何建议？

思考：以上研究的50位志愿者的抗体GMT倍增比值正是我国自主研发的新疫苗“克尔来福”在一期临床试验中的数据，该款疫苗效力优秀，根据统计，接种者抗体GMT倍增比值达标率99.9967%.请同学们思考一下，为什么实际的达标率和试验的达标率不一样呢，你认为有哪些因素造成了这样的误差？

本环节分析：本节课由学生观看疫苗研发视频开始，引起共鸣，提出要研究的问题，然后以问题为导向，层层递进，教师扮演导演的角色，负责问题的设置与启发，联系实际引导学生，逐步探索，积极发现，最终找到解决问题的办法.在核心素养渗透方面，通过计算频数和频率，培养了学生数学运算的核心素养;通过自主探究与合作交流，经历数字特征的生成过程，利用样本的频率分布估计总体从而更好地作出决策，培养学生整理数据，提取信息的数据分析核心素养.

3 讲授导法（用数据说话）

讲授导法是指师生围绕知识点进行例题讲授、复习，目的是引导学生找到解决问题的方法，并能灵活地运用相应方法解决问题.

治愈率的高低可以从侧面反应疫苗的效果，现在我们通过以下40个国家的治愈率数据分布情况来估计全球197个主权国家的新冠肺炎的治愈率分布情况，并以此为据来判断我们国家疫苗的效果好坏.原始数据中已经找出了治愈率、死亡率的最大（小）值：

治愈率最大值：新加坡（99.53%）;治愈率最小值：英国（20.22%）.

请同学们根据表3，完成以下题目：

（1）求上表中a 、b、c、d的值;

（2）请补全频率分布直方图;

（3）请利用样本估计总体的思想，试估计全世界197个国家中治愈率大于等于90%的国家个数.

本环节分析：本环节通过填频率分布表，画频率分布直方图，培养学生数形结合、直观想象的核心素养.本环节充分体现了以学生为主体的新课程理念，让学生充分体会数学来源于生活，同时又服务于生活.通过新冠疫苗的治愈率，进行爱国主义教育、励志教育，让本节课达到高潮，通过这种教育让学生感受祖国的强大，立志好好学习，做新时代的优秀青年.

4 当堂导练（活动时间——用数据说话）

当堂导练是根据知识点要求及例题讲授情况，及时组织当堂训练，目的是了解学生对当堂内容的掌握程度.

近日钟南山团队在网站上发布最新论文，披露了针对1000例新冠病毒感染者的研究成果.这篇论文对未来的疫情防治工作提供了重要的决策支持，但其中提到的潜伏期最长可达24天的结论，却引起广大网友和群众的恐慌.原来不是一直说潜伏期最长14天吗，现在怎么变成24天了？

同学们能不能用今天所学习的知识帮助广大的网友消除疑惑呢？

本环节分析：数学来源于生活，同时又服务于生活.本节课力求将数学知识与生活实际紧密结合.学生眼里數学应该是一门看得见、摸得着、用得上的学科不再是枯燥乏味的数字游戏.因此本节课以新冠疫情，疫苗等生活中耳熟能详的事情为背景让学生体会到“用数学”的乐趣.

5 探究导思（课后巩固）

探究导思是把当堂作业分层训练，引导学生对当堂知识点进行学后总结反思，对少数同学进行探究拓展训练.

小组合作完成：

（1）抽样调查学校100位学生的鞋码大小信息，制作频率分布表和频率分布直方图，并以此为据估计我校学生鞋码大于40码（中国码）的学生人数.

（2）课本71页练习题第2题.

本环节分析：本案例在分析传统作业的基础上，提出了新课程下必须树立的作业设计理念：设置分层作业、多元化作业、合作完成作业等，这是新课程教学的需要.

6 案例反思

6.1 数据问题

由于一些客观原因，本节课所用部分数据与真实数据稍有差别，一切相关数据，请以国家发布的实时统计为准.

6.2 创新还是立足教材？

本节课的争议点就在这里，大胆创新还是立足教材例子走，我们认为应该尊重教材，但不囿于教材，重视教材的再处理，拓宽学生知识视野.

6.3 什么是有价值的课？

习近平总书记在全国教育大会的重要讲话中提出要“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”，“努力构建德智体美劳全面培养的教育体系，形成更高水平的人才培养体系”.这一重要指示给教育改革发展提出了新的努力方向和建设要求.为了落实立德树人根本任务，我们必须全面贯彻新时期党的教育方针.作为一线教师，笔者深知，“五育并举，全面发展”决不能纸上谈兵，需通过活动来实现.本节课为学生量身定制，在师生互动、生生互动中促进学生的全面发展，所以我认为这是一堂有价值的课.

最后，这次赛课，精彩不断，让人回味无穷，本节课的不足之处，望各位同仁指正.

参考文献：

[1]瞿高海.关注概念的本质——“函数的奇偶性”教学实录与反思[J].中学数学月刊，2015（06）：4-7.

[2] 周开焱.借助信息技术，引入数学实验，凸显统计思想——“用样本频率分布估计总体分布”教学设计与反思[J].高中数理化，2018（03）：3-4.

[3] 孟胜奇.凸显数学思维追求教育本真——“几何概型”教学实录与反思[J].中国数学教育（高中版），2012（09）：30-33.

责任编辑：李璟