基于旋转磁铁的电磁学分析

2022-04-06杨佳东杨占金

科学技术创新 2022年8期

唐豪谢瑜* 杨佳东杨占金

(新疆农业大学，新疆乌鲁木齐 830052)

2021 年国际青年物理学家锦标赛(IYPT)的第2 赛题为“旋转磁铁(Circling Magnets)”：将直径不同的纽扣磁铁贴附到圆柱形电磁的两端，将其放置在铝箔上或物体会开始旋转。探究相关参数如何影响运动。可以引申到相关参数对电动机的影响等实际问题。针对类似的简易电动机模型，我们可以从法拉第对简易电动机的理论分析那里得出一个动力来源以及相关电流分析，但是相对于本文的“旋转磁铁”其研究因素较少，模型建立也大不相同。

1 基础理论模型及其求解

1.1 运动轨迹的基础分析

通过几个简单的预实验以及对模型的简单分析发现可以发现在一定条件下运动轨迹半径与该实验的相关物理参数无关，只与磁铁- 电池所形成的联合体的几何关系相关如图1 所示。在这里可以近似认为磁铁- 电池联合体是刚体，并且沿轴对称，而对称轴为正极端顶面与负极端底面的圆心连线所构成的直线。设吸附在正极端上的磁铁半径为R1，厚度为h1，所受到的径向摩擦力为f1，吸附在负极端上的磁铁半径为R2，厚度为h2，所受到的径向摩擦力为f2。电池半径为R0，长度为h0。两接地点的之间的距离为hΔ，运动轨迹半径为R。

对磁铁- 电池联合体进行几何分析如图1，物体受到的轴向摩擦力充当向心力使其做圆周运动，当满足做圆周运动所需的向心力小于最大静摩擦力的时候，物体做圆周运动的轨迹半径可以直接由磁铁- 电池联合体的几何关系得出

图1 磁铁- 电池联合体与半径的几何关系

再通过对磁铁- 电池所构成的联合体进行分析，可以得出做圆周运动轨迹的半径R。

联立(1)、(2)式，解得：

故磁铁- 电池联合体在满足做圆周运动所需的向心力小于最大静摩擦的时候，其运动半径取决于该联合体的几何关系，与其他无关。

1.2 运动条件及联合体力矩的分布

当磁铁- 电池联合体放在铝箔上形成回路时，由于电磁内阻很小，以及正负极两端吸附的磁铁电阻微弱，而铝箔在这里充当导线作用电阻也很小。因此形成回路后，会有很大的电流从正极吸附的磁铁中心流出，并从其边缘流出，其方向与磁铁表面磁场方向垂直，所以同时在磁铁表面电流受到安倍力FI作用，而电流对磁铁的反作用力F-I作为第一个动力源，如图2 所示。电流再通过下方铝箔，铝箔上有磁场分布，因此下方铝箔将受到安倍力的作用，因此会反馈给该联合体一个反作用安倍力，作为第二个动力来源。电流再由负极端磁铁边缘流向中心，其方向与磁铁表面磁场垂直，所以同时在磁铁表面产生电流安倍力力矩作用，电流对磁铁的反作用力矩作为的三个动力来源。

图2 两端N 极朝外的力矩分布情况

在磁铁同极朝外的情况下，上述三个动力源作用于同一方向，联合体才能正常做圆周运动。在异极朝外的情况，三个动力源提供的动力不足以支持其运动。同时当该联合体做圆周运动词正负极两端磁铁旋转切割磁场，所以在正负极两端会产生反向感应电动势。下方铝箔有磁场分布，所以当物体运动时，铝箔切割磁场，产生反向感应电动势。同时铝箔表面于联合体之间还有滚动摩擦力作用，提供阻力力矩作用。所以对于该联合体的力矩分布情况如图2 所示。

因此，磁铁- 电池联合体的运动情况为：从静止开始做加速运动，但是随着角速度的增大，产生的反向感应电动势逐渐增大，从而逐渐减小回路中的电流强度和作用与磁铁片以及铝箔的安培力，使加速度逐渐减小，最后使安倍力力矩与阻力力矩平衡，角速度也不再增加。

1.3 物体力矩分析及物体公转速度

设正极端的磁铁半径为R2，磁铁表面的法向磁感应平均强度为B2。负极端的磁铁半径为R1，磁铁表面的法向磁感应平均强度为B1。则两磁铁产生的力矩为：

对于铝箔而言，其导电长度为h⊿，通电铝箔上其磁场平均强度记为BL，则铝箔所提供的力矩为

当物体自转角速度为ω0时，记产生的反电动势ε' ，则有

设回路总电阻为r总，可以得出该回路中的电流为

其中ε0为电源电动势。

设该联合体所受到的阻力矩为；Mf，磁铁- 电池联合体的转动惯量为J，则物体的角加速度为

该联合体在运动中一直保持滚动的形式，所以其阻力主要来源于滚动摩擦，设负极端产生的滚动摩擦力为f1，正极端产生的滚动摩擦力为f2，则

其中δ 为滚动摩阻系数，只与接触面材料有关，FN1为正极端磁铁的正压力FN2为负极端磁铁的正压力，所以滚动摩擦产生的力矩为

设两磁铁质量分别为m1和m2，电池质量为m0则有

对物体所受的总体力矩分析

联立式(4)- 式(11)，整理可得

求解该微分方程可得

其中相关参数k，b 为

分析式(14)- 式(16) 可以得知物体的最大自转角速度ωmax为

根据图3，由于该联合体运动属于纯滚动，所以可以由式(17)推出公转角速ω1度及其吸附在正极端磁铁的公转速度v1

图3

则该物体极限速度vmax

通过上面三式可以知，影响ωmax的独立参数有ε0、r总、m1、m2、B2、B1、BL、m0以及联合体几何关系；而影响ω0的因素除此以外还有J，所以转动惯量J 只影响其自转角速度增大的快慢；同样的有，影响联合体最终的线速度有几何关系、电源电动势，质量，各处磁场分布情况以及总电阻。

1.4 安倍力随电流分布情况

对于铝箔而言，电流在铝箔上非直线流向，在铝箔上的曲线电流两端各自取一小段微元。对于这两小段微元产生的安倍力进行分解，分解为延轴向以及垂直轴向，这样延轴向的安倍力分力相互抵消，既可以等效为延轴向电流计算，说明铝箔产生的安倍力力矩与电流在铝箔上的分布无关。

2 实验探究

2.1 实验设计

按照要求，实验器材选取1.5v 的7 号干电池、半径不同的两种纽扣磁铁、一张铝箔、水平仪、刻度尺、摄像机、万用表。实验过程通过摄像机进行记录，并用Tracker 软件对视频进行分析处理，通过追踪磁铁的位置，得到角速度随时间变化的数据。再通过Origin 软件对数据进行图像化处理。

为了实现题目要求得到预期实验效果，需要做以下准备：

(1)需要用水平仪提前调整实验装置的倾斜度，为了保证实验不受重力的影响；

(2)使铝箔表面清洁，避免回路电阻无故增大；

(3)实验记录时间不宜过久，因为随着实验的进行电源电动势逐渐下降，内阻逐渐上升，可能会导致与预期效果不符；

该实验装置的优点在于，对无关变量严格控制，利用软件进行测量减少人为误差。

2.2 实验结果

在满足实验前准备的前提下，选取规格为10.5×44.5mm 的1.5v 干电池，以及两颗尺寸分别为20×10mm、10×10mm 的纽扣磁铁。用万用表对多组进行不同时长实验的电池电压进行测量，发现平均在14s 左右电压出现了明显的下降，所以实验记录时长不宜超过14s。记录10 组重复实验的ω-t 实验数据，并得到10 组数据形成的散点图与理论曲线对比如图4。得到的R 值为0.97692，接近与1，与理论曲线拟合较好。故可以粗略的认为该物体运动的角速度随时间变化满足式(18)。而产生误差的原因在于磁场强度不能细致的测量，实验过程中电源电动势的变化。