几类广义Pexider方程的解

肖志涛

（广州华立学院, 广东 广州 511325）

Pexider方程是Pexider J V在文献[1]中提出的一组方程，形式如下：

并给出了方程在实数域 R上的连续解。一直以来，很多人致力于这组方程的研究，得到了许多有意义的成果，文献[2-7]研究了Pexider方程在不同区域上解的情况，文献[8-9]讨论了可加Pexider方程在集值函数空间的稳定性，文献[10-14]讨论了几类Pexider方程和时滞方程在不同赋范空间上的解及稳定性。本文研究如下形式的广义Pexider方程：

其中 αk,βk,γk为常数，且αkβkγk≠0,(n≥2)。通过赋值转化方法，得到了上述方程的通解。

1 引理及基本准备

首先，本文给出下面的引理[15-16]：

引理1设f是定义在 R 上的连续函数，如下几个方程

f(x)+f(y)=f(x+y)，∀x,y∈R

f(x)f(y)=f(x+y)，∀x,y∈R

f(x)+f(y)=f(xy)，∀x,y∈R+

f(x)f(y)=f(xy)，∀x,y∈R+

在不考虑平凡解f≡0的情况下，分别有解为

f(x)=f(1)x，(x∈R)

f(x)=ecx=ax，(c为任意常数，x∈R)

f(x)=clnx，(c为任意常数，x∈R+)

f(x)=xc，(c为任意常数，x∈R+)

下面，将引理1推广为一般的形式，有

引理2设f是定义在R 上的连续函数，如下几个方程

在不考虑平凡解f≡0的情况下，分别有解为

f(x)=f(1)x，(x∈R)

从而有

于是，有

将式(7)、(8)代入方程(1)，整理可得

由引理2可得

φ(x)=φ(1)x

f(x)=ecx=ax，(c为任意常数，x∈R)

f(x)=clnx，(c为任意常数，x∈R+)

f(x)=xc，(c为任意常数，x∈R+)

证明由引理1可得结论成立。

由式(5)、(6)可得

2 主要结论及证明

定理1设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义在R 上的连续函数，广义Pexider可加方程(1)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为

证明在方程(1)中，固定某个xk=x,令其他n−1个xk=0，有

定理2设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义在 R上的连续函数，广义Pexider指数方程(2)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为

证明由于不考虑平凡解，在方程(2)中固定某个xk=x, 令其他n−1个xk=0，有

从而

于是

将式(11)、(12)代入方程(2)，整理可得

由引理2可得，上式有解

φ(x)=ecx=ax，(a>0)

由式(9)、(10)可得

定理3设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义 R+上的连续函数，广义Pexider对数方程(3)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为

证明在方程(3)中固定某个xk=,令其他n−1个xk=1，有

从而有

于是，有

将式(15)、(16)代入方程(3)，整理可得

由引理2可得

φ(x)=clnx

由式(13)、(14)可得

证明由于不考虑平凡解，在方程(4)中固定某个xk=,令其他n−1个xk=1，有

从而

于是

将式(19)、(20)代入方程(4)，整理可得

由引理2可得，上式有解

φ(x)=xc，(c∈R)

由式(17)、(18)可得