高三数学椭圆复习的分析与研究

韩雪健

【摘要】圆锥曲线是高考中一个非常重要的考察内容，学生通过对圆锥曲线的学习能够提高自己的数学思维和运算能力，进而提高自己发现问题、解决问题的能力。在圆锥曲线中，椭圆是其中的核心部分。在高三椭圆复习过程中，教师如果能够对椭圆知识的基本类型进行归类，可以帮助学生更好地掌握椭圆的相关内容，提高学生的数学成绩进而提高学生的数学核心素养，对学生的数学学习产生深远的影响。

【关键词】高中数学;椭圆;分析

在高中数学学习过程中，椭圆是一个非常重要的知识点。学生如果能够将椭圆的内容理解透彻，会对学习圆锥曲线部分甚至是平面几何的知识有很大的帮助。高三教师在帮助学生椭圆知识进行复习时，要让学生将椭圆题目的类型和求解方法理解清楚，明确题目中重点要考察的内容，进而进行求解，使学生学会对椭圆知识进行归纳总结，形成完整的知识框架，从而实现举一反三，融会贯通。

一、椭圆中常见问题

1.探究椭圆的具体问题

第一，动点轨迹问题。通过对动点的轨迹方程的求解，明确该曲线为椭圆。一般有两种解决办法：第一种是首先根据椭圆的定义和性质能确定轨迹所表示的是椭圆，再求出椭圆的方程。第二种是根据题中已知条件，对动点的x和y进行化简求解，求出轨迹的方程，在根据轨迹方程判断图形为椭圆。第二，求椭圆中的具体信息。根据题目中的具体信息确定椭圆的相关知识点，包括长轴、短轴、离心率等。包括进一步求解弦长问题、面积问题等。具体可采用直译法、转化法、定义法等来求解。

2.椭圆中定值、定点的问题

这一类问题是指已知椭圆的方程、特殊的点和直线的位置关系。通过一些特定的变量和几何性质，使得不断变换的变化量有了一些不变的性质，从而对定值、定点问题进行求解或者证明。第一，定点问题。这类问题往往已知椭圆的标准方程和特定的直线方程，通过对已知条件进行化简来证明直线经过某个定点或者是某一点在直线上。第二，定量问题。在特定的题目中发现斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题。在求解或证明定值、定点问题的过程中可以利用等价转换和代数表示等方式，抓住题中的恒等关系，通过计算的方式约去题中的参数部分，从而求出结果。

3.最值范围问题

在椭圆问题中，除了定值、定点这些不变量之外，还经常求解或证明一些特殊量的的最值和取值范围的问题。包括椭圆离心率的最值，求一些特殊点的横纵坐標的取值范围、求直线的取值斜率或弦长的取值范围、求三角形周长或面积的取值范围、求特定角的取值范围的问题等。在求解最值问题的过程中，可以采用几何方法和代数方法。通过对已知条件进行分析，选择适当的参数表示变量，可以利用函数或不等式等相关知识进行求解。对于范围问题，首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数。

4.探究性问题

这一类问题往往有关结论是已知的，去探索是否存在满足结论的条件，一般是求解点和直线。探究性问题往往更具有开放性，需要学生具有较强的逻辑思维能力。探究性问题主要包括探索是否存在类的问题和确定存在类的问题。对是否存在类的问题的解题的策略包括先假设存在，将是否存在的问题转化为确定存在，再根据已知条件进行运算，看能否推出矛盾。对于确定存在类的问题先进行求解，再对特殊情况作出判断。

二、高三椭圆复习的教学实践

第一，提高学生的数学运算和解题能力。学生的运算和解题能力是高考中非常重要的一个考察内容，是学生数学学习的一个基本能力。在高中数学学习中，解析几何承载了考察学生运算能力和解题能力的作用。在历年高考试题中，平面解析几何部分往往是一道小题和一道解答题，分值在17分左。这类问题往往计算量很大，并且这些计算不是简单的基本数据运算，而是要对题目情境进行分析，了解题目中要进一步考察的内容。因此在对解析几何尤其是椭圆的复习过程中，要让学生养成独立思考的习惯和对题目进行抽象概况的能力，通过对题目进行化简和整理，灵活运用椭圆的定义和性质，尽量减少运算的步骤，提高解题的能力和效率。

第二，优化例题的选择和板书的设计。在进行椭圆复习时，教师要有明确的主线将高中阶段的椭圆知识联系起来，帮助学生形成椭圆知识的完整框架，同时在讲解过程中要重视对高中数学思想方法的渗透，要从整体性出发进行精心设计，选取适当难度的例题，既能承上启下，又能引发学生的思考，从而提高学生的数学学习能力。好的例题能够启发学生的数学思维，提高学生的数学学习兴趣。要选取具有基础性、可操作性的例题，并且在讲解过程中注意将题目的运算过程进行板书，加深学生的影响，并且要注意板书的规范性。

第三，要进行合理的作业安排和讲评教学。教师在进行一节课的椭圆复习之后，要选取适当的题目给学生进行练习。练习的题目既要与本节课的知识相关联，又要锻炼学生的能力。题目不要过多并且要注意把握难度。并且，在第二节课时要对前一天的作业及时地进行批改和讲评，从而加深学生对椭圆知识的理解并提高学生的计算能力。

第四，引导学生整理错题集。学生通过整理错题集，对学过的题目进行分析和归类，归纳出易错题、好题以及好的解题方法，可以提高自己的运算能力，完善数学思维，优化解法，从而提高自己的数学能力。因此在进行椭圆复习的过程中，教师要引导学生对椭圆的知识进行改错、分析和反思，不仅能够提高自己的运算能力和解题水平，还能够在整理错题的过程中，加深对椭圆知识的理解，并形成完整的知识框架。

椭圆知识是解析几何里非常重要的一部分内容，本文结合高三椭圆知识复习的教学实践，对高中数学椭圆知识进行了分析和总结，并结合教学实际提出高三数学椭圆复习的方法和技巧。教师在对椭圆知识进行复习时，要注意帮助学生总结归纳，让学生做到举一反三，切实掌握好椭圆的相关知识，提高自己的运算解题能力和逻辑思维能力，进而提高自己的数学成绩和数学专业素养。

参考文献：

[1]梁元龙.高中数学椭圆教学的有效策略[J].亚太教育，2019（7）;1.