一个表面准地转涡旋在Beta平面自由漂移的数值模拟

张彤辉，张 洋，潘 嵩，李君益

一个表面准地转涡旋在Beta平面自由漂移的数值模拟

张彤辉1，张 洋1，潘 嵩2，李君益1

（1.广东海洋大学海洋与气象学院，广东 湛江 524088；2.自然资源部海洋环境信息保障技术重点实验室，天津 300171）

【目的】研究一个表面准地转涡旋在β平面上的自由漂移及其驱动的流场、能谱演化。【方法】基于谱方法理想数值模拟，研究分析涡旋罗斯贝数以及β效应对流场演化的影响。【结果与结论】与准地转涡旋类似，表面准地转涡旋的漂移速度和其激发的罗斯贝波波速十分接近。漂移过程中不断生成的涡丝使得小尺度波段的能谱趋于-2结构。涡旋非线性和β效应可以增强涡旋漂移速度，提高涡丝生成速率。

表面准地转；β平面湍流；谱方法；数值模拟

海洋亚中尺度过程是当前海洋研究的热点[1]。研究表明部分亚中尺度过程为表面准地转（Surface Quasi-geostrophic, SQG）形式[2-3]。在远离边界的大洋内部，大尺度海水运动一般认为是准地转（Quasi-geostrophic, QG）形式。由于海面密度扰动，上层海洋必须考虑海面边界条件。Hoskins等[4]通过在位涡表达式中引入函数建立SQG系统，将上层海洋运动与内区分离，使得人们可以通过海面密度反演流场。前人研究[5-7]证明，上层海洋在某些情况下可由海面密度异常驱动。

非线性使得QG和SQG流场呈现出湍流多尺度结构。由于随流守恒量不同，相比于内部的QG流，上层SQG流展现出丰富的亚中尺度结构，这为亚中尺度生成机制提供一种解释。卫星高度计观测发现海面动能逆向串级[3]，即动能从小尺度传递给大尺度，但这并不能用QG湍流理论解释，而需要依托SQG理论。SQG系统机械能逆向串级，表面势能正向串级[6]。Capet等[8]通过理想数值模拟发现势能经生锋过程转化成动能并逆向串级，表明锋面经斜压不稳定产生亚中尺度这一过程符合SQG理论。在横跨锋面的方向上，密度梯度普遍存在，且对于亚中尺度过程而言，这种背景密度梯度十分重要。因为SQG运动中密度随流守恒，密度梯度的作用类似于正压涡度方程中的β效应，可以激发Rossby波。虽然SQG理论已存在半个多世纪，然而对其β效应的关注却不多。锋面不稳定形成大量亚中尺度涡旋，这些涡旋的运动必然受到β效应的影响。众所周知，β平面一个QG涡旋会激发Rossby波并向西漂移。探讨β平面的SQG涡旋如何运动将有助于理解锋面演化过程中的涡旋等亚中尺度过程的演化。理想数值模拟指出β效应可抑制大尺度波段的动能逆向串级[9]。在物理空间，逆向串级通常表现为小涡旋合并成大涡旋；而正向串级则往往伴随着大涡旋变形、破碎产生小涡旋和涡丝。在β平面，自由漂移的涡旋会与自身激发的Rossby波相作用后变形并甩出涡丝。这些涡丝并不稳定，会卷曲形成更小的涡旋；由此动能得以向小尺度串级。然而，β效应如何影响这一过程目前并不清楚。一维动能谱的演化可直观地展现能量串级。本研究采用理想数值模拟刻画β平面上一个SQG涡旋的演化，分析涡旋自身漂移以及β效应对小尺度结构在能谱演化中的影响。

1 表面准地转模型构建

SQG模型中海面密度异常引起的浮力扰动可写成

式(1)中，为地转流函数，0是科氏参数，表示垂直坐标（向上为正），下标s表示海面（= 0）。s为海表浮力异常，其量纲为加速度（单位m/s2），它随流守恒并且驱动流场。如果s本身包含一个经向梯度，则其随流守恒意味着

从频散关系式不难得到Rossby波西向波速大小为

2 数值模拟设置

湍流模拟通常采用谱方法，其空间差分精度远高于有限差分，可更细致地刻画湍流。本研究采用基于傅里叶级数的谱方法，因此，南北边界条件为周期性边界条件。初始条件采用一个流函数形式的涡旋：

其中，为一个可调的无量纲数，通过对式(2)括号中的两项尺度分析，即可发现这样定义的好处：代表了和s之比，即项相比于非线性项的大小，其本质是无量纲。本研究主要关心＜１的情况，即β效应相比于涡旋自身浮力扰动而言较弱的情形。在这种情况下，强非线性使得涡旋具有一定的自持性，涡旋可长期漂移并驱动流场，流场长期演化对和e的依赖性是本研究关注重点。

非线性项的时间差分采用四阶Runge-Kutta显格式，项采用隐格式。模拟区域是一个边长1 000 km的矩形海盆，在和方向各有512个网格点。为避免小波混淆，在每步计算非线性项之后使用Hou等[12]设计的低通滤波器将尺度最小的1/3波数剪除。在一系列实验中，本研究改变涡旋非线性强度（，e）以及β效应的强度。本研究部分算例的控制参数见表1。

表1 本研究所用的部分数值模拟的控制参数

3 结果与分析

3.1 β效应对涡旋漂移速度及流场演化的影响

一个气旋会在β平面上向西北方向漂移，而反气旋则会向东南方向漂移。在SQG框架下，本研究关注β效应对涡旋漂移速度的影响。在海盆中心放置一个半径为e= 80 km，海面高度异常为-10 cm的气旋式冷涡，涡旋罗斯贝数e= 0.01，参数设置符合海洋中尺度涡旋特征[13]。中尺度涡主要是由斜压不稳定产生的，其发生的必要条件之一是密度存在南北梯度。在SQG的框架下，密度梯度构成β效应。

图1展示一个气旋式冷涡在β平面上向西北方向漂移的过程。表1中实验1号0.100意味着β效应（在涡旋尺度上）所产生的密度改变是涡旋本身密度扰动的10%。如果改变涡旋的极性，则可看到反气旋（暖涡）向东南方向漂移（这里未作展示）。SQG涡旋在β平面的漂移机制和QG涡旋类似，都是由于涡旋与其自身激发的Rossby波相互作用产生。图1（b, e, h）显示当减小时涡旋的漂移速度也随之减慢。涡旋与Rossby波相互作用的另一个体现是涡旋东侧不断形成涡丝。这些涡丝起初均源自涡旋外围的黑色涡环。该处切变剧烈且相对涡度与涡心处相反，这是由初始条件（式(5)）决定的。在涡旋刚开始漂移时，切变产生的涡丝在很大程度上被限制在涡旋附近（图1(b, e)）。特别是当背景β较弱（较小），涡旋本身相对较强时，蜗旋对这些涡丝具有裹挟作用，涡丝难以延伸到较远的区域（图1(h)）。涡丝的包裹使得涡旋相比于初始时刻得到一定的增强。但在随后演化中，涡旋周围的这些涡丝很快被黏性耗散（图1(i)中的涡旋边缘），并不影响整个流场小尺度波段的能量累积。本研究主要关注整个流场演化对的依赖性，这里不深入讨论涡旋结构的变化。当较强（涡旋相对较弱）时，涡丝迅速远离涡旋的影响（图1(b, c)）。远离涡旋的区域背景剪切较弱，耗散也较弱，涡丝的演化取决于自身非线性。显然，这些涡丝并不稳定，会扭动卷曲并形成更小的涡旋（图1(c, f)）。这一过程必然会将初始涡旋的能量注入到涡丝和小涡旋中，进而使得能量向小尺度串级。类似的涡旋边缘切变激发锋面的现象在前人模拟研究中也有发现，Jing等[14]指出这些锋面会通过对称不稳定产生亚中尺度结构，进而将能量串级到更小尺度。SQG流场演化始终满足式（3）位涡为零的要求，因此，流场中小尺度结构的生成完全取决于非线性平流。

a，b，c，分别为实验1号初始时刻、1 a与2 a后的流场；d，e，f，分别为实验3号初始时刻、2 a与4 a后的流场；g，h，i，分别为实验7号初始时刻、3 a与7 a后的流场。背景灰度代表标准化相对涡度ζ/ f0，变化范围从0.5（白色）到-0.5（黑色）

图2展现实验8、9、10号的流场演化。这3个实验的初始涡旋与图1(a)一致且都具有较强背景β效应。涡旋向西北漂移的情况依然十分明显。比较图2（a, c, e）可见，涡旋西向漂移速度随着的增大而显著增大。同时，涡旋东侧呈现出明暗相间的弧形条纹，这是在强β作用下涡旋激发的Rossby波，类似的结构在QG涡旋中也有发现[15]。相比＜１的情形（图1），图2中Rossby波更明显，特别是图2(f)。当=１时，涡旋能量主要用于激发波动，而不能够维持自身，这样的情形并非本研究关注点。海洋亚中尺度涡旋的相对涡度较大，相比于β效应产生的行星涡度变化，涡旋自身非线性发挥主导作用。类似地，这里主要关注＜１情况下强SQG涡旋自由漂移所驱动的流场演化。

比较不同强度e的气旋涡在β平面上的自由漂移（图3），显然，漂移速度随着e增大而增快，这一点和QG涡旋的漂移类似。同时，由于强涡旋的剪切较强，其甩出的涡丝也更容易不稳定，进而激发更多小尺度涡旋（图2(f, i)）。由于这些涡丝源自初始涡旋的黑色涡环，其卷曲形成的小涡旋也具有负涡度（黑色暖涡）。比较图2(c, f, i)不难发现能量正向串级的速率一定程度地依赖初始涡旋的非线性强度。

a，b，分别为实验8号在180 d和1 a后的流场；c，d，分别为实验9号在90 d和180 d的流场；e，f，为实验10号在45 d和90 d的流场。背景灰度代表标准化相对涡度ζ / f0，变化范围从0.5（白色）到-0.5（黑色）

a，b，c，分别为实验4号初始时刻、1 a和2 a后的流场；d，e，f，分别是实验5号初始时刻、1 a和2 a后的流场；g，h，i，分别是实验6号初始时刻、1 a和2 a后的流场。背景灰度代表标准化相对涡度ζ / f0，变化范围从0.5（白色）到-0.5（黑色）

图1—3表明涡旋漂移速度与和e这两个参数有关。为定量计算涡旋漂移速度，本研究利用涡旋识别算法[16]追踪涡旋核心位置，对其作时间中央差得到漂移速度。在初始阶段，涡旋的漂移主要受到其激发的Rossby波的作用，而不受其周边涡丝等精细结构的影响。初始阶段定义为2倍的涡旋自转周期e/（约14 d），在此期间，涡旋主导整个流场，涡丝等精细结构并没有大量产生。这一时期涡旋平均漂移速度与无量纲数e呈显著的线性关系（图4），即背景β效应越强（越大），初始涡旋越强（e越大），漂移速度越快。在QG理论框架下，遥感观测发现，海洋中的强涡旋漂移速度接近且略高于斜压Rossby波的波速e2 [17]。SQG系统本质是一种斜压模型。考虑到相邻且极性相反的一对涡旋构成一个波，波数为= 2π/ (4e)。图4所用实验的涡旋半径为e= 40 km，代入式(6)得到其右侧系数0/≈255 cm/s。该值和图4(a)线性回归的拟合斜率十分接近，说明在初始阶段涡旋以自身激发的Rossby波的波速向西漂移。图4(b)显示，北向漂移速度和e依然具有良好的线性关系，其大小相比西向速度慢得多。遥感观测发现，大多数海洋涡旋的漂移速度以向西分量为主，南北分量较小，本研究模拟结果与其相符[13]。然而对于SQG涡旋，其北向漂移速度略小的具体原因还有待后续研究分析。

a，西向漂移速度；b，北向漂移速度

3.2 β效应对能谱演化的影响

能谱分析是湍流研究的常用手段。一维动能能谱的定义为

a，实验1号；b，实验3号；c，实验5号；d，实验7号。自下往上4条曲线分别表示初始时刻、1 a、2 a和4 a后流场所对应的动能谱；直线表示k-2能谱结构；横纵坐标均为指数坐标。

a，ε对能谱重心变化的影响；b，初始涡旋的非线性Re对能谱重心变化的影响。纵坐标为能谱重心相对于其初始时刻的位移

4 结论

本研究通过理想数值模拟展现一个强SQG涡旋（＜１）在β平面上自由漂移所驱动的流场与能谱演化，得到以下结论：

1）在初始阶段，涡旋以其激发的Rossby波速向西漂移，速度量级约为cm/s, 该量级和卫星高度计观测值接近。这意味着一部分海洋涡旋的运动机制可能符合SQG理论，特别是锋面附近的亚中尺度涡旋。

2）-2能谱在亚中尺度波段广泛存在。SQG涡旋在漂移过程中由非线性平流产生涡丝，也可以形成-2能谱，一定程度上支持锋面演化理论。

3）能谱重心分析发现，β效应对能量向小尺度正向串级具有一定的促进作用。

目前高度计遥感分辨率只有1/4度，不能捕获亚中尺度范畴的精细流场结构，这使得通过实测验证本研究结论变得困难。然而，随着下一代高度计观测项目SWOT（Surface Water Ocean Topography）的实施，将可利用高分辨率遥感流场以验证本研究结果，这是未来工作的方向。

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Numerical Simulation of the Beta Drift of a Surface Quasi-geostrophic Eddy

ZHANG Tong-hui1, ZHANG Yang1, PAN Song2, LI Jun-yi1

（1.,,524088,; 2.,,300171,）

【Objective】This study investigates the initial evolution of a surface quasi-geostrophic (SQG) eddy on a β-plane and the evolution of the associated flow field and energy spectrum.【Method】Idealized numerical simulation based on the spectral method is employed to show the dependence of the flow characteristics on the eddy Rossby number and the strength of the β-effect.【Result and Conclusion】Similar to the quasi-geostrophic eddy, the drift velocity of the surface quasi-geostrophic eddy is very close to the wave velocity of its excited Rossby wave.The continuously generated eddy filaments during the drift make the small-scale spectrum converge to the-2structure.The eddy nonlinearity and β-effect can enhance the eddy’s drift velocity and increase the rate of eddy filament generation.

surface quasi-geostrophic eddy; β-plane turbulence; pseudo-spectral method; numerical simulation

P731.26

A

1673-9159（2022）02-0071-08

10.3969/j.issn.1673-9159.2022.02.009

2021-09-02

自然资源部海洋环境信息保障技术重点实验室开放基金课题（2019）

张彤辉（1996―），男，硕士研究生，研究方向为海洋中小尺度过程。Email: 2064687424@qq.com

张洋（1986―），男，博士，副教授，主要从事物理海洋多尺度过程研究。E-mail: zhangyang_gdou@126.com

潘嵩（1988―），男，高级工程师，主要从事海洋数值预报。E-mail: 446705025@qq.com

张彤辉，张洋，潘嵩，等.一个表面准地转涡旋在Beta平面自由漂移的数值模拟[J].广东海洋大学学报，2022，42（2）：71-78.