一类奇异 Volterra 积分方程在Lp(p≥1)空间中的适定性

郑孟良

(四川大学数学学院, 成都 610064)

1 引 言

本文考虑Volterra积分方程

a.e.t∈[0,T]

(1)

在Lp(p≥1)空间中的适定性，其中η(·) 和f(·,·,·) 为给定映射, 分别称为状态方程的自由项和生成元，y(·) 取值于Rn，称为方程(1)的解. Volterra积分方程最早由Volterra (意大利数学家，物理学家)提出，此后许多学者都曾研究过 Volterra 积分方程的适定性, 即解的存在性、唯一性和稳定性. 当积分核具有奇异性时，Mydlarczyk[1]研究了如下形式的 Volterra 积分方程，给出了解存在的充要条件：

a.e.t∈[0,T],β∈(0,1).

本文研究一类具有一般奇异性的 Volterra 积分方程式 (1) 的适定性.本文的动机来自分数阶微分方程. 在过去几十年间，分数阶微分方程吸引了众多学者的关注. 分数阶微分方程可化为与之等价的 Volterra 积分方程然后进行研究.例如 Bassam等[3]考虑了如下分数阶微分方程解的存在唯一性：

其中Dα,I1-α分别表示Riemann-Liouville分数阶微分和积分算子[4].Bassam等将方程(2)化为如下非线性奇异Volterra积分方程：

(3)

当方程(2)中的Dα,I1-α被替换为 Hadamard 型分数阶导数和积分Dα,J1-α时[4],方程(2)可化为

本文的结构如下.在第二节中我们给出一些必要的预备知识，在第三节中得出本文的主要结论，即问题(1) 在Lp(1≤p≤∞) 空间中的适定性，并给出与已有结果的对比. 在第四节中我们给出结论与展望.

给定T>0.记Δ={(t,s)∈[0,T]2]0≤s0，

tκ(t,s)ds∈L∞(0,T),

当 0≤h(·)∈L1(0,T),κ(t,s)=h(s)κ(·,·)∈Κ0.

引理2.1[6]设κ∈Κ0.令

(4)

则对任意T>0，存在常数CT>0 和γ∈(0,1) 使得

特别地，级数

(5)

对几乎所有 (t,s)∈Δ收敛，且

(6)

且对任意T>0，有

tr(t,s)ds∈L∞(0,T).

一般地，称函数r为κ的预解式 (resolvent kernel).

证明 对任意t∈R，记Gδ(t)=G(t)1{(0,δ]}(t).设φ(·)∈Lq(a,b).则

{[φ(·)1[a,b](·)]*Gδ(·)}(t)=

{[φ(·)1[a,b](·)]*Gδ(·)}(t)=

(7)

下面我们给出一类 Volterra 型的 Gronwall 不等式.

引理2.3[5]设κ∈Κ0,rn和r分别由式(4)和(5)给出.令f,g:R+→R+是两个可测函数，使得对任意T>0，存在n∈N, 有

trn(s)f(s)ds∈L∞(0,T)

且对 a.e.t∈(0,∞)有

若对 a.e.t∈(0,∞)，

则对 a.e.t∈(0,∞)有

特别地，如果 0≤h∈L1(R+), 则κ(t,·)=h(·)∈Κ0, 且

上述 Gronwall 不等式退化为经典情形.

在给出主要定理之前我们先来看如下例子.

例3.1[5]考虑方程

a.e.t∈[0,T],β∈(0,1)

(8)

其中η(·)∈Lp(0,T),p≥1.对于问题(8)中的g(·,·,·)，假设

|g(t,s,0)]≤L1(s), (t,s)∈Δ,

|g(t,s,y)-g(t,s,y′)]≤L2(s)·|y-y′],

(t,s)∈Δ,y,y′∈Rn.

不同于文献[2]，我们对问题(1)中的生成元f(·,·,·) 提出如下较一般的假设：

(H1) 设映射f:Δ×Rn→Rn对 任意y,f(·,·,y) 可测，对a.e.(t,s),g(t,s,·)可测,且存在非负函数L0(·),L(·),G(·) 满足

L0(·)∈Lq(0,T),

(9)

|f(t,s,0)]≤L0(s)G(t-s), (t,s)∈Δ

(10)

|f(t,s,y)-f(t,s,y′)]≤L(s)G(t-s)·

|y-y′],(t,s)∈Δ,y,y′∈Rn

(11)

其中q,r≥1.

由式(10)，(11)可知，

|f(t,s,y)]≤[L0(s)+L(s)|y]]G(t-s),

(t,s,y)∈Δ×Rn

(12)

下面我们给出式 (1) 在Lp空间中的适定性.

(13)

进一步， 如果η1(·),η2(·)∈Lp(0,T;Rn),y1(·),y2(·)是分别对应于η1(·),η2(·) 的问题(1)的解，则

其中K是一个正常数,

a(·)=|η(·)]+

r(·,·) 是对应于κ(·,·) 由式 (5) 定义的预解核, 这里κ(t,s)=L(s)G(t-s).

证明 首先证明问题 (1) 解的存在唯一性. 我们将证明分为三步.

第一步.固定任意η(·)∈Lp(0,T;Rn). 对任意z(·)∈Lp(0,S;Rn)，0

t∈[0,S].

由 Hölder 和 Minskowski 不等式，有

(14)

所以

我们得到J是Lp(0,S;Rn) 到其自身的映射.

第二步我们证明映射J:Lp(0,δ;Rn)Lp(0,δ;Rn)(δ待定) 为压缩映射. 对任意z1(·),z2(·)∈Lp(0,δ;Rn)，

J[z1(·)](t)-J[z2(·)](t)=

由推论 2.2，类似于式(14)有

取δ∈(0,T] 使得

可以看到J为压缩映射，从而J在Lp(0,δ;Rn)上有一个唯一的不动点，即问题 (1) 在 [0,δ] 上的唯一解.

第三步考虑问题方程 (1) 在 [δ,2δ] 上解的情况. 对任意z(·)∈Lp(δ,2δ;Rn)，令

其中y(·) 为上一步中得到的问题(1) 在 [0,δ] 上的解.同法可得

类似于(14)式的证明，J为Lp(δ,2δ;Rn)→Lp(δ,2δ;Rn) 的映射. 对任意z1(·),z2(·)∈Lp(δ,2δ;Rn)，再次利用引理 2.2有

接下来，令η1(·),η2(·)∈Lp(0,T;Rn)，y1(·),y2(·) 分别为对应的解，则

|y1(t)-y2(t)]≤|η1(t)-η2(t)]+

|y1(s)-y2(s)]ds≤|η1(t)-η2(t)]+

则引理 2.3中第三个不等式成立. 事实上，令κ(t,s)=L(s)G(t-s).我们可以证明κ(·,·)∈Κ0(见注1). 设r(·,·) 是相应由式 (5) 定义的预解核，则由引理 2.2知

所以

a.e.t∈[0,T].

再由式 (6)得

所以

注1在(H1)中令κ1(t,s)=L(s)G(t-s),κ2(t,s)=L0(s)G(t-s).我们有κ1(·,·)∈Κ0, 但κ2(·,·)不一定属于Κ0.

首先，我们来证明κ1(·,·)∈Κ0.因

且对任意ε>0足够小时

所以我们有κ1∈Κ0.

接下来，我们给出一个例子来说明κ2(·,·)∉Κ0. 考虑方程 (8).令

即

a.e.t∈[0,T]

(15)

其中α,β∈(0,1),δ∈(0,1],T>1.取

我们有

我们指出κ2(·,·)∉Κ0. 可以看到，若α+β+δ<2，方程 (15) 的解y(·) 为正.我们有

(H2) 对p≥1 和 任意的T>0，

其中κ3和κ4来自下述的 (H3)，(H4)；

(H3) 存在κ3∈Κ0，使得对于任意 (t,s)∈Δ,x∈X，

(H4) 存在κ4∈Κ0，使得对任意 (t,s)∈Δ,x,y∈X有

由注1可以看到，一方面，(H1) 中的 Lipschitz 系数L(s)G(t-s)是(H4)中κ4的一种特殊形式；另一方面，对比 (H3)可知我们放松了其对生成元的限制，改进了相应结果.

4 结 论

我们考虑了一类具有一般奇异性的 Volterra 积分方程通过不动点定理给出了其在Lp(p≥1)空间中的适定性，推广了文献[2]的结果.相比于文献[5]，我们放松了对生成元的要求.

值得说明的是，假设 (H1)需要G(·) 是关于t-s的函数. 特别地，主要结果的证明非常依赖于卷积不等式(引理 2.2)，当G(·,·) 为一般的关于t和s的二元函数时，我们还没有得到相应的结果.我们期望在以后的论文中能够给出.