“概率论与数理统计”课程的教学创新探讨

苏又 梁鑫 胡志军 李英华 马林涛

[摘 要] 在大数据时代，概率统计已经渗透到各行各业，“概率论与数理统计”课程的教学成为高校教学不可缺少的一部分，是各领域必不可少的基础分析工具，在许多交叉学科和研究中起着桥梁作用。结合实际教与学中存在的普遍问题，创新教学理念、教学设计，借助现代信息技术和问卷星、学习通、学习强国等平台，师生互动，生生互动，增加学生对概念的直观认识，激发学生的学习积极性和主动性，在教学过程中围绕“案例导向，实践育人”主题，融入思想政治教育元素和专业案例，理论联系实践，提高学生解决实际问题的应用能力，拓宽学生的思路，并建立一套公平合理的考核体制和反馈体制，提高教学效果，教师在创新理念下有所为，学生在创新教学下有所为，实现教与学双赢。

[关键词] 创新教育;问题驱动法;启发与探究式教学;课程思政;信息技术;SPOC

[基金项目] 2020年度广西高等教育本科教学改革工程项目“基于独立SPOC的概率统计课程的研究与实践”（2020JGA130）;2020年度广西高等教育本科教学改革工程项目“课程思政教学改革在概率论与应用统计系列课程中的研究与实践”（2020JGB127）;2020年度广西师范大学课程思政示范课程建设项目“数学分析”;2021年度广西师范大学第四批课程思政示范课程建设项目“概率论与数理统计”（2021KCSZ-12）;2019年度广西师范大学课程思政示范课程建设项目“概率论与数理统计”

[作者简介] 苏 又（1986—），女，广西桂林人，硕士，广西师范大学数学与统计学院讲师，主要从事概率统计研究。

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）09-0065-04 [收稿日期] 2021-10-13

一、“概率论与数理统计”教与学的现状分析

“概率论与数理统计”是数学类统计类的必修课，是大学理工科及经济管理类专业开设的一门基础必修课程[1]。该课程具有内容繁杂、涵盖面广、系统性强、公式多不好记忆、概念多、知识琐碎、内容抽象难懂等特征。当前线下教学理论多与实际脱节，学生反映仅通过书本内容去掌握和巩固知识点，很难透彻地理解并加以运用。学习概率论与数理统计，学生必须掌握高等数学及线性代数的相关基础知识，而学生对这些知识理解掌握灵活运用不够。目前，我校理工科各专业和经济管理类专业开设本课程为51学时，内容涵盖了参数估计中点估计的相关理论和方法，可以说，学时少，内容多。教学过程中，教师会更加侧重于简单介绍抽象的理论及烦琐的计算，不会太过于强调理论的系统性，忽略了概率统计的思想方法的传授，没有深入研究当前社会形势的变化，没有对教材涉及的案例进行相应的更新，没有将知识与专业相联系，理论联系实际少，导致学生学习兴趣普遍不高，除了考研的学生以外，多数学生学习目标不明确，学习这门课仅仅是为了应付考试，更难以把所学的知识灵活运用，因此学生的实践和创新能力无法得到一定程度的提升，也就难以实现概率论与数理统计的教学价值。为了解决本门课程难教难学的窘迫现状，对本课程的教学创新势在必行。

二、课程教学的创新研究

基于教学现状，并对笔者所在院校概率论与数理统计公共类课程教学实践过程中普遍存在的问题进行深入研究后，认为我们需要紧跟当前创新教育、思想政治教育的特点，结合新时代中国特色社会主义建设的人才要求，深入开展教学研究和创新实践，激发学生的学习积极性和主动性，提高学生的应用能力。

（一）创新教学理念

本课程始终贯彻以学生为中心，以专业、知识、能力、素质四位一体[2]培养创新型人才为目标，我们不仅要加强本专业理论知识的研究和创新教育理论的学习，而且还要熟悉学生所学专业所需的数学知识。例如，面对经济管理专业的同学，需要对计量经济学、社会经济统计和金融统计等方面的应用有所了解，能将审计学、财务管理与管理会计和统计有机结合起来;面对通信工程专业的同学，则需要了解如何解决“通信原理”[3]学习过程中遇到的诸多概率问题。

（二）创新教学设计

不同的教师对教学模式的选取及教学设计往往不同，教学实践上也就会存在一定差异。而要满足学生的学习需求，帮助学生更好地学习掌握这门课程，我们应具备教学创新能力和教学设计能力，满足学生个性学习的需求和信息时代的要求。例如，在教学实践中应用超星学习通、智慧树、中国大学MOOC等在线平台辅助课堂教学，课前在平台上发布通知及作业，分享教学动画、音频、视频、教学课件等教学资源;课中在平台活动区设置抢答抽问等环节活跃课堂气氛;课后建立讨论区交流获取课后评价反馈，提高教学质量。又如，在教学实践中构建教师引导、学生参与的教学体系。将教材知识内化为学生可以掌握的科学素养及技能，在教学过程中围绕“案例导向，实践育人”这一主题，融入统计建模思想和课程思政元素，强调案例教学、思政教学，注重理论联系实践，渗透课程的历史、发展及社会价值，以增添教学内容的趣味性、创新性和深刻性，将难点知识简单化、抽象知识直观化、课堂教学生动化。

（三）创新考核机制

合理的考核体系是教学有序进行、达到教学目的的有力保证。目前，本校考核体系基本上是以学生的期末、平时成绩组成，往往以期末考试的卷面成绩为重要依据，期末考得好，平时成绩也会相应打得高，这样势必造成很大一部分学生不注重知识的日积月累，平时学习不用功、作业不认真，考前临时抱佛脚突击一下，期末就可能侥幸通过，甚至考得高分，一旦考试结束，什么都忘得一干二净，没有真正认识到学习的意义，更没有学习乐趣可言，整个大学四年，什么都学不到。这种考核制度对培养创新型人才有一定的阻碍作用。因此，本课程需建立一套公平合理的考核体制，将平时学习的全过程与期末考试统一起来，也就是把学生的作业情况、在线讨论情况、在线学习记录情况、日常课堂考勤情况、期中考试情况、期末考试情况按一定比例综合来评定最终平时成绩，可促进学生的学习积极性，提高教师的教学效果和学生的学习效果。例如，借助学习平台把学生线上平台作业情况、在线讨论情况、在线学习记录情况作为平时成绩的第一部分，占比30%;将日常课堂考勤情况作为平时成绩的第二部分，占比30%;將期中线上考试情况作为平时成绩的第三部分，占比30%;将课堂课后表现及期末进步情况作为平时成绩的第四部分，占比10%。这种极具公平性和创新性的多元化考核体系不仅可以调动学生学习的积极性，及时检验学生的学习成果和教师的教学效果，还能使学生保持适当的紧张感，让学习有始有终。

总之，积极把创新理念、创新设计和创新考核机制有机地融入“概率论与数理统计”的日常教学中，使学生由惧怕数学到逐步认识数学的应用并喜欢数学，是我们所期待的。

三、教学创新理念下的教学实践

我们以本课程教材第一章第四节《全概率公式和贝叶斯公式》教学内容为例，简述在实际教学中如何实现教学理念创新、教学设计创新及考核机制创新。

（一）学情分析，创新教学设计

全概率公式与贝叶斯公式是教材第一章第四节的内容，全概率公式和贝叶斯公式作为概率论的两个重要公式，实际上是进行统计决策的强有力的工具，它们是条件概率知识的进一步扩展和延伸，主要研究从简单事件的概率计算扩展到复杂事件的概率计算。全概率公式和贝叶斯公式在模型预测、可靠性评估、产品检测、机器学习等领域有着广泛的应用。其由于公式较复杂，难于记忆，更因在实际生活中应用广泛而成为概率论课程教学中的一个重点和难点问题[4]。学生前面已经学习了概率的加法公式、条件概率和乘法公式，能基本掌握一些特定假设条件下的事件概率的计算，具备了一定的基础知识和理论基础，但很多学生对概念理解不是很透彻，不会运用，解决问题的能力有待进一步加强，知识没有融会贯通。因此，课堂教学应坚持以学生为中心，以专业、知识、能力、素质四位一体培养创新型人才为目标，提高学生的综合素质和创新能力，形成“夯实基础、强化实践、学研结合、突出创新”的教学理念。结合实际和专业，融入课程思政，结合信息技术等手段丰富课堂教学活动，采用线上线下相结合的教学方式，借助多视觉（故事、生活和专业等案例）帮助学生全面理解全概率公式和贝叶斯公式的基本思想、适用范围、基本计算、实际应用等基本知识和技能，寓教于乐，营造自由轻松的氛围，帮助学生在“促学、乐学、好学”中领会到“分割、化整为零、化复杂为简单”的概率思想方法，真正感受到學有所用和学以致用的成就感。

（二）宣传党史学习，介绍学习强国的一道挑战问题，巧妙引出公式

本课程教学设计首先引入“2021年是建党100周年”这一社会热点，激发学生的好奇心，让看似枯燥乏味的课程有了一点新意。这样达到了既呼吁学生响应号召学习党史，又实现了课程思政融入课堂教学的目的，激发了学生的学习积极性和主动性。接着借助现代信息技术，通过问卷星平台，引导学生扫描二维码分享学习强国App中的一道与概率相关的挑战问题“抽签时先抽和后抽中签的概率是____的（填相等/不等）”，引发学生思考，理论联系生活，实现师生互动、生生互动。接着将学习强国的这道开放问题抽象成一个实际数学问题，在解决实际问题的过程中，从特殊到一般，由表及里、层层递进、步步设问，再从一般到特殊，以此帮助学生体会“分割、化整为零、化复杂为简单”的概率思想，引发学生结合实际认真思考的主动性、勇于探索的积极性，进而引出全概率公式，归纳出全概率公式是用于已知原因求结果的一类问题的概率计算。通过本环节的互动，将传统课堂古板乏味的问题趣味化、生动化、实际化。学生既直观理解了概念，又增强了党史教育。

（三）注重专业案例导向，实践育人，理论联系实践

对新冠肺炎疫情期间居民出行记录的调查与统计，是相关部门防控工作的基本内容，是又一个社会热点。因此，在学生对全概率公式有了初步的认识后，抛出市场调查与统计工作中涉及敏感问题的一个专业案例：“新冠肺炎疫情期间，你有过谎报出行记录的行为吗？”引发学生思考，启发学生勇于将全概率公式的基本思想应用到解决实际问题中，计算出新冠肺炎疫情期间，被调查者有谎报出行记录的概率，实现知识与所学专业的知行合一。学生通过本环节的学习，解决了传统课堂理论脱离实际的问题，实现了对公式的内涵和运用的理解，拓宽了学生的知识面。

（四）践行课程思政理念，进行道德品质教育

教学过程中以问题驱动，采用启发、探究等多种教学方式，可引导学生积极分析思考。例如，从全概率公式知识点的教学过渡到贝叶斯公式知识点的教学过程中，启发学生逆向思维理解，继续探究有谎报出行记录的概率问题（被调查者回答“是”来自选答问题“你有过谎报出行记录的行为吗？”的概率），利用条件概率与全概率公式的简单推导，引出贝叶斯公式是用于已知结果求原因的一类问题的概率计算，揭示出贝叶斯公式的哲理意义——原以为不甚可能的一种情况，可以因某种事件的发生变得甚为可能。最后抛出一个历史典故——烽火戏诸侯，鼓励学生借助贝叶斯公式的思想原理解释出周幽王的可信度下降的原因，并教育同学们做人做事要讲诚信。学生通过本环节的学习，解决了传统课堂互动少、内容抽象、难理解的问题，达到“润物细无声”的育人效果[5]。寓教于乐，达到促学、好学、乐学的目的。

（五）信息技术优化反馈，在线平台助力考核

教学反馈是实现教学有目的地控制、提高教学质量与效率、保证教学活动良性循环的必不可少的措施。本课程结合现代信息化手段开展在线问卷调查、测评等教学辅助活动，解决了学生课堂内外难开口的问题。例如，每节课或每个章节后引导学生通过问卷星平台参与教学评价反馈的问卷调查;通过超星学习通在线讨论区新建学习内容、教学情况方面的话题，并积极与学生互动，及时解答学生提出的问题，以检验学生的学习效果、教师的教学效果，为后续教学内容提供参考依据。此外，教师利用平台具有通知、签到、作业、投票、随堂练习等功能，及时了解学生的学习动态及知识掌握程度，并调整教学内容及教学进度，完成作业批阅，提升教学效果和效率，同时，这些在线学习情况是学生平时考核的重要参考依据。

（六）教学反思

本课程始终以学生为中心，以专业、知识、能力、素质培养创新型人才为目标，教学设计引入社会热点，激发学生的好奇心，学生既直观理解了概念，又增强了党史教育;借助现代信息技术，使课堂趣味化、生动化;注重专业案例导向，实践育人，理论联系实践;以烽火戏诸侯践行课程思政理念，进行道德品质教育，增添了创新性，寓教于乐;采用问卷星平台开展教学反馈评价调查活动，获取学生的及时反馈;将学习通平台的在线数据及日常课堂考勤、期中期末考试情况按一定比例综合来评定最终成绩，让学习有始有终。

本节课运用理论联系实际的案例，突破了教学的难点，解决了学生学习过程中的痛点，突出了教学重点，运用多种灵活的教学模式，活跃了课堂气氛，教学效果好，实现了“四位一体”的育人目标。但在教学过程中，生生互动环节需要进一步加强，教学设计的创新性还可以进一步突破与优化。

“概率论与数理统计”是理论性强、应用广的一门课程。教师应结合创新教育理念，精心设计教学，融入思想政治教育元素和专业案例，借助现代信息技术和学习平台，理论联系实际，激发学生的学习兴趣与积极性，提高教学效果，实现教与学双赢。

参考文献

[1]韩彩虹，夏荧，庞思敏，等.概率论与数理统计中思政元素的探究与融合[J].教育观察，2020，9（1）：103.

[2]陈鑫.论高校思政课“四位一体”实践教學模式[J].北京电子科技学院学报，2021，29（2）：43.

[3]王亚军.以专业学习为导向的《概率论与数理统计》教学探索[J].信息系统工程，2019（6）：163-164.

[4]陈中明.全概率公式与贝叶斯公式的启发式教学设计浅谈[J].教育教学论坛，2019（25）：202.

[5]赵秀兰，刘洁，马红娟，等.运用案例教学法促进思政教育融入概率论与数理统计课[J].课程教学，2020（10）：23.

Discussion on the Teaching Innovation of the Course of Probability Theory and Mathematical Statistics： Taking the Full Probability Formula and the Bayesian Formula as Examples

SU You， LIANG Xin， HU Zhi-jun， LI Ying-hua， MA Lin-tao

（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004， China）

Abstract： In the era of big data， probability statistics has penetrated into all walks of life. The teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics has become an indispensable part of college teaching. It is an essential basic analysis tool in various fields and plays a bridge role in many interdisciplinary subjects and research. Combined with the common problems existing in the teaching and learning， this paper puts forward innovative teaching ideas， tries to promote teacher-student and student-student interactions with the help of modern information technologies and platforms such as Questionnaire Star， Superstar Learning and Xuexi.cn and other platforms， so as to increase students’ intuitive understanding of concepts and stimulate students’ learning enthusiasm and initiative. We should focus on “case-based teaching and practical teaching” in the teaching process， integrate ideological and political education elements with professional cases. Through the combination of theory with practice， we can improve students’ application ability to solve practical problems， broaden students’ thinking， and establish a fair and reasonable assessment system and a feedback system to improve the teaching effect. Teachers can achieve good teaching results with innovative ideas， and students can learn more efficiently with innovative teaching， so as to form a win-win situation between teaching and learning.

Key words： innovative education; problem-driven method; enlightening and inquiry teaching; “curriculum ideological and political education”; information technology; SPOC