试从欧式几何视角谈中学数学几何及其教学

王天姿

摘 要：出自欧几里得之手的《几何原本》，即对当时的几何学的成果的总结再创造，标志着几何教育活动的伊始.在我国的几何部分的教学中，学生对于几何的学习存在着一定的学习困难和畏难情绪，而几何知识作为数学知识的重要组成部分之一，对于学生而言又是必不可少的.因此，作为教育者，在研究教育时，除了要对如何提升学生的直观想象的素养进行研究之外，还应该对提高学生的空间想象能力进行研究，基于此，通过阅读一些图书，笔者大胆地对初中平面几何的学习内容的弊端进行了分析，并对初中几何教学提出了几点展望.

关键词：欧式几何;中学几何;中学数学;教学;展望

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）06-0039-03

1 平面几何在中学数学学习中的地位

在初中数学的学习中，除了涉及到一些关于平面几何的学习，大部分都是在进行“数”的运算和学习，有且只有平面几何这一部分是涉及到了“形”的学习.几何的学习对于学生的“逻辑推理”、“直观想象”的核心素养的培养的地位是不容置疑的，可以说，学习几何的优势在某种程度上更能体现“数学”学习的本质.中学平面几何以直线和圆为要素，引出了一系列的平面几何的公理和定理，与高中立体几何相比趣味性和技巧性更强，更能培养学生对于数学学习的兴趣.

2 欧式几何在几何学中的地位

2.1 欧式几何的历史地位

世界上第一本几何教科书，当属再版次数最多，流传最为广泛的欧几里得的《几何原本》了.《几何原本》的广泛流传，欧式几何占领中学几何课堂几千年而历久不衰，不仅说明欧几里得的几何学在科学领域的巨大成就，更说明了其在几何教学领域的威望.

2.2 欧式几何在数学学习中的地位

几何，在数学的学习中有着举足轻重的地位，它与代数的，分析的，组合的方法相辅相成.对于每一个热爱学习数学的青少年来说，大多首先是几何的爱好者.几何的学习是几何图形的直观性和数学学习逻辑的严谨性的二重奏，对于青少年来说，这不仅有利于左右脑智力的开发，也能增加学习效率，完善智慧，培养学生的空间思维能力.

3 从欧式几何角度谈几何学习困难3.1 容易迷路的“欧式几何”园林

如果将一门课程的学习，比作游览一个城市.而课程的逻辑体系就好比城市的交通系统，一个好的交通系统，应该有一个“放射型”的交通中心，从中心出发，可以四通八达，站在中心，就可以有去任何地方的可行性方案.如果把几何的學习比作一次旅行的话，几何就好比一个瑰丽精致的古代园林，在园林中有目不暇接的美景，但却容易迷路，因为找不到四通八达的车站，没有一个“放射型”的交通中心.

3.2 串联式的几何学习

数学是一门系统性的学科，关联性极强，在数学几何知识的学习过程中，每一步都显得那么重要，如果其中有一步没走好，那么几何学往前走的路也就断了.笔者认为，欧式几何的弊端在于，没有一个俯瞰全局的制高点，它的逻辑结构是串联式的.

3.3 孤立的几何系统

几何教学是整个学生教育的子系统.在研究数学教育的过程中，我们不禁要想，它和大系统匹配的如何呢？大系统有没有对其提供尽可能的环境的支持？几何系统为大系统做了什么贡献呢？欧式几何确实是一个美丽的系统，但其却是一个相对封闭的系统.它既不会以学生们在小学阶段所掌握的数学基础知识为起点进行继续学习，也不像代数那样，能用有关方程的知识作为解题的锐利武器，虽然几何拥有丰富多彩的习题，但其并没有为其并肩的系统提供复习、巩固、提高的用武之地.同时，也并未对将来要学习的解析几何和高等数学起到铺垫的作用，这确实令人遗憾.从数学这个大系统这个全局的需要的角度来考虑，对于几何，应当建立起更合理，更容易学习，更能够和欧几里得体系相竞争且足以吸引学生的几何体系.

4 中学生平面几何的学情分析

4.1 已有几何知识分析

在义务教育阶段，学生学习的《图形与几何》内容主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的概念、性质和度量;图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影，平面图形基本性质的证明;运用坐标描述图形的位置和运动等等.

4.2 已有学习能力分析

学生在掌握《图形与几何》的基础知识，基本技能的同时，空间观念得到了一定的发展，在借助图形思考问题的过程中，初步建立了几何直观.能够对平面内一些基本图形的性质进行逻辑推理和简单证明，掌握了一些基本的数学符号和基本思想方法.

4.3 相关生活经验分析

在现实生活中，学生能够对生活中的物体进行抽象，并能够明辨基本图形.对生活中物体和物体的位置关系有一个感性认识.

4.4 几何的教学目标4.4.1 经验与知识相互转化

学生作为课堂的主人，绝不是一个单纯的接受知识的机器.而是一个个带着已有的经验的个体.而这些日常生活经验，有的是在以往的学习中通过内化知识而来的，还有的是以自在地状态存在于学生的脑海中.这些自由存在的经验，就需要教师的辅助得以唤醒、改造，使学生能够自觉地进入教学，这既能对当前的教学起到辅助的作用，又能对新的知识的学习得到进一步的提升.

4.4.2 活动与体验

学生学习的知识是人类认识的“起点”，具有高起点性，也就是说学生学习的过程并不是知识发现或发明的过程，并不会像发现或发明过程一样由错误到正确、有片面到全面一样去经历一次，而是直接学习某一个内容的最高成就.由于学生认识的直接对象并不是客观事物本身，可能只是某种符号化的表达，因此教学其实走的是一条捷径，虽然很快获得结果，但这个过程是一个困难的过程.而学生的学习活动也并不是自主的，需要教师进行启发、引领，伴随着在活动中与老师、同学的交流、沟通、合作，体会知识及符号表达发现的过程，进而建立所学知识与客观事物之间的联系.

4.4.3 掌握知识本质

瑞典学者马飞龙指出：“我们发现：学习结果与教师对教学内容的处理和组织有着较大的关系.最关键的是教师对教学中相同点与不通点、变与不变内容的呈现和处理.”学生是有已有经验的个体，但学生的某些已有经验是具有片面性的.教师此时可以通过举例子的方式去引起学生的认知冲突，进而引导学生主动发现和探索知识的本质特征.恰当的正面例子有助于教师引导学生呈现教学内容，帮助学生迅速理解核心内涵.除了标准正例以外，还可以用一些非标准的正例和反例来揭示知识的关键属性，有助于学生全面把握所学知识的本质特征.

5 对几何教学的展望

对于欧式几何内容的弊端，我们并不是责备，而是，作为一个教育者，我们如何使广大的中学生更容易地继承先辈留下的遗产.今天，我们比欧几里得的时代拥有了更多的知识，比古人站的更高，望得更远，我们能不能使广大中学生降低几何学习的难度变为现实呢？

5.1 对教材内容的展望

首先，几何的教材内容应该直观，生动，内容丰富，在学习的过程中应设置从易到难的丰富练习题，并且用引人入胜的方法引导学生学会解决一系列有难度的数学题目，包括一些古典名题，以建立起几何学足够的吸引力，和欧几里得体系竞争.

5.2 与其他课程关系的展望

几何学在和其他课程的关系上，应该与其他子系统应建立瞻前顾后的关系.比如，在小学几何知识的基础上，怎么利用这些知识引导学生进行进一步的学习呢？如何利用学生学习过的其他知识如代数方程来为几何知识提供帮助呢？对于学生在不就得将来将要学习的高等数学，有一种如沐春风的感觉呢？回忆初中所学习的几何知识，有一种受益非浅的感觉呢？这些都是作为数学教育工作者应该注重的关键点.

5.3 对几何推理手法的展望

几何的推理手法应当是非常简洁的，教科书的逻辑体系相比欧几里得体系的大加删减.

几何推理手法也理当是严密的，应当有自己的公理体系作为后盾.如果仅仅满足于现有的数学材料，用拼盘的方法搞数学几何教学，几何的教学是无法前进的.

6 对几何教学的一些思考

6.1 在呈现方式上的自然亲切

经过对初中平面几何内容的分析，作为或即将作为教育者，是否可以在呈现方式上，做到亲切自然，激起中学生对于一些几何知识的学习的信心和决心？因此，我们应该做的就是在数学知识的呈现方式上做到自然而亲切，这样更加有利于提升学生学习数学的兴趣，从而提高学习的有效性.

6.2 对几何教學过程的思考

不仅是在平面几何，在整个中学数学教学的过程中，应该不仅仅只是简单的传递过程，而学生不应该是对于上课内容的复制粘贴的简单记录，而是对于新知有一种主动学习的心理过程.作为教育工作者，如何去引导学生主动求知，使其将课堂上所学习的内容顺应或同化到学生已有的经验系统，是应该积极关注和解决的重要课题.基于此，在设计教学过程时，应当充分考虑到学生的过去学习过的头脑中的已有知识，从而安排有利于学生知识正迁移的教学素材，防止负迁移.

综上所述，基于欧式几何的学科特点，似乎学生的畏难情绪有了一定的“缘由”，然而，将看似已经熟悉得不能再熟悉的几何的性质定理，如何将其变幻出新鲜的花样，优化几何教学的效果，需要我辈等继续努力.路途遥远，来日方长，希望能通过不断的沟通和讨论中优化中学数学课程的教学质量，随着时间的流逝，在各种数学交流活动中引起更多的思考，淘尽泥沙见真金.

参考文献：

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[4] 汤强.论几何知识的特性及其教学[J].数学教学通讯，2007（05）：1-4.

[责任编辑：李 璟]