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圆锥曲线中弦长问题的解法探究

2022-03-27王慧敏

文学天地 2022年2期

王慧敏

摘要:圆锥曲线是高中数学的一个重难点,也是每年高考必考的热门知识点。而弦长问题则是圆锥曲线中的经典问题,也是高考的热门考点。弦长问题的解题过程中存在一些通用的技巧,可以适用于大部分弦长问题问题解答。本文将通过一道高考改编题来探究这类问题的常用解法.

关键词:弦长公式,焦半径公式,点差法,伸缩变换

题目:(2021年高考数学全国卷Ⅱ20(2))已知椭圆C的方程为x^2/3+y^2=1,右焦点F(√2,0),设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x^2+y^2=1(x>0)相切.当M,N,F三点共线时,证明:|MN|=√3.

解法1:(利用弦长公式)

设M(x_1,y_1 )  ,N(x_2,y_2 )直线MN的方程为x=my+√2,则圆心O(0,0)到直线MN的距离为d=√2/√(m^2+1)=1,解得m^2=1,联立方程组{█(x=my+√2@x^2/3+y^2=1)┤,〖4y〗^2+2√2 my-1=0,由弦长公式可得|MN|=√(1+m^2 )∙√(8m^2+16)/4=√2×√24/4=√3,所以结论成立。

点评:对于大多数学生来说,圆锥曲线综合性问题虽思路清晰,容易切入,但常常受制于繁琐而复杂的运算,解法1是先联立方程组,再利用弦长公式,这是解决弦长问题的基本方法,运用这种方法的最大问题就是计算问题,由于运算量太大,导致选用解法1的学生大多数不能得出正确结果.但相对于利用两点间的距离公式来说计算量稍小。

解法2:(利用焦半径公式)

同解法1得x_1+x_2=-√2/2 m^2+2√2,由焦半径公式可得

|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2a-e(x_1+x_2 )=2√3-√6/3 (x_1+x_2 )=2√3-√6/3 (-√2/2 m^2+2√2)=√3,所以结论成立。

点评:解法2利用椭圆的焦半径来解决,相对解法1来说运算量大大减少,并且容易理解。

解法3:(利用点差法)

由解法1可知m^2=1,设M(x_1,y_1 )  ,N(x_2,y_2 )直线MN的方程为x=my+√2.则{█(〖x_1〗^2/3+〖y_1〗^2=1@〖x_2〗^2/3+〖y_2〗^2=1)┤,两式相减,得1/m∙(y_1+y_2)/(x_1+x_2 )=-1/3 ①.又因为MN过点F(√2,0),所以1/m=((y_1+y_2)/2)/((x_1+x_2)/2-√2),即y_1+y_2=1/m (x_1+x_2-2√2)②,将②代入①得x_1+x_2=(6√2)/(m^2+3).由焦半径公式得|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2√3-√6/3 (-√2/2 m^2+2√2)=√3,所以结论成立;

点评:点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的基本方法,用点差法处理弦长问题,省略掉了联立方程组这一步骤,计算简洁,事半功倍.但值得注意的是,若弦不过焦点,则点差法失效[1].

解法4:(利用伸缩变換)

令x^'=x/√3,y^'=y,则直线MN的方程x=my+√2变为√3 x^'=my^'+√2,m变为m^'=m/√3,椭圆C的轨迹方程变为〖x^'〗^2+〖y^'〗^2=1,则|M^' N^' |=√(1+〖m^'〗^2 )∙|y_1^'-y_2^' |=√(1+m^2/3)∙|y_1^'-y_2^' |.又因为|M^' N^' |=2√(R^2-d^2 )=√2,由解法1可知m^2=1,故√(1+1/3)∙|y_1^'-y_2^' |=√2,即|y_1^'-y_2^' |=|y_1-y_2 |=√6/2,所以|MN|=√(1+m^2 )∙|y_1-y_2 |=√3,所以结论成立;

点评:解法4利用椭圆与圆之间的伸缩变换构造一个新的圆的方程,利用转化的思想来解决问题.虽然这并不是最简单的解法,但是它可以让学生学会将知识融会贯通.

小结:在解决圆锥曲线的弦长相关问题时,可采用弦长公式、焦半径公式、点差法和伸缩变换的方法来解决。一题多解可以使学生开阔视野,把学过的知识和方法融会贯通,使用自如。

参考文献:

[1]聂文喜.从一道高考题谈圆锥曲线焦点弦长问题的求解策略[J].数理化学习(高中版),2016(12):40-42.