用常规思维解决非常规问题
2022-03-25卢红卫
卢红卫
(江苏省张家港市外国语学校 215600)
2021年全国高中数学联合竞赛一试第7题看似形式复杂，实则用简洁的常规思路即可解决.
题目
a
,a
,…,a
为1,2,…,21的排列，满足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|，这样的排列的个数为.
思路1 特殊开路，归纳猜想.
a
,a
,…,a
为1,2,…,5的排列，满足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|这样的排列的个数N
=1+2+2+2+1.a
,a
,…,a
为1,2,…,7的排列，满足|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|≥|a
-a
|这样的排列的个数N
=1+2+2+2+2+2+1.归纳猜想：a
,a
,…,a
为1,2,…,21的排列，满足|a
-a
|≥|a
-a
|≥|a
-a
|≥…≥|a
-a
|这样的排列的个数N
=1+2+ 2+…+2+2+2+…+2+1=3 070.思路2 利用数轴，一一罗列.
数轴上标号为i
(i
=1,2,3,…,20,21)的点记为P
，共有21个点，a
,a
,…,a
分布在这21个点，|a
-a
|表示数轴上两点距离.当a
在P
处，则a
(i
=1,2,…,20)在P
+1处，这样的排列数为N
=1.当a
在P
处，则a
,a
在离P
距离为1的P
,P
两点，a
(i
=3,4,…,20)在P
+1处，这样的排列数为N
=2.当a
在P
处，则a
,a
在离P
距离为1的P
,P
两点，a
,a
在离P
距离为2的P
,P
两点，a
(i
=5,6,…,20)在P
+1处，这样的排列数为N
=2.……
当a
在P
处，则a
,a
在离P
距离为1的P
,P
两点，a
,a
在离P
距离为2的P
,P
两点，……，a
,a
在离P
距离为10的P
,P
两点，这样的排列数为N
=2.当a
在P
处，则a
,a
在离P
距离为1的P
,P
两点，a
,a
在离P
距离为2的P
,P
两点，……，a
,a
在离P
距离为9的P
,P
两点，a
在P
，a
在P
，这样的排列数为N
=2.……
当a
在P
处，则a
(i
=1,2,3,…,20)依次分布在P
21-处，这样的排列数为N
=1.综上，
思路3 寻找规律，合理分类.
因为a
为特殊元素，抓住a
进行分类讨论，又根据对称性，不难发现：a
=1和a
=21时，|a
-a
|的所有取值情况是一样的，a
=2和a
=20时，|a
-a
|的所有取值情况是一样的，a
=i
和a
=22-i
，i
∈{1,2,…,10}时，|a
-a
|的所有取值情况是一样的.设a
=k
，k
∈{1,2,…,10,11}，对i
=1,2,…,k
-1，有a
2-1,a
2为k
-i
,k
+i
的排列(若k
=1，没有这样的i
)，且a
=j
+1(2k
-1≤j
≤20)(若k
=11，则没有这样的j
)，因此评析
思路1通过特殊化思想的运用，先思考两次数字较少的情形，很容易得到相应的排列数，再通过归纳猜想，就很容易得到此题的正确答案.思路2很好地利用了数轴这个有力工具，在黑板上直观呈现，排好a
的位置后，让学生动手操作排a
的位置，随着a
的变化，学生很容易得出相应的排列数.思路3是在思路2的基础上发现了a
=i
和a
=22-i
，i
∈{1,2,…,10}时，|a
-a
|的所有取值情况是一样的，因为存在对称性，所以设a
=k
，只需考虑k
∈{1,2,…,10,11}的情形.数轴上的操作已经让学生明白其基本原理，学生尝试总结，教师通过适当辅助，完成a
2-1,a
2为k
-i
,k
+i
的排列(若k
=1，没有这样的i
)，且a
=j
+1(2k
-1≤j
≤20)(若k
=11，则没有这样的j
)这样的规律总结.整个思维过程顺畅，简洁易懂，学生对解决此类问题所用的研究思路有了深刻感悟.紧接着，笔者给出了以下题目让学生练习：已知数列a
=2(k
=1,2,3,…,n
)，则所有可能的乘积a
a
(1≤i
≤j
≤n
)的和等于.
课堂上学生很快给出了如下两种思路：
思路1 列举找通项.
以上求和抓通项，2(2+ 2+1+…+2)=2[(2+2+…+2)-(2+ 2+…+2-1)]=2(2+1-2)=2++1-22，于是
思路2 利用数表，直观呈现.
a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan
容易得到以上数表各项和为再将以上数表分解成左、中、右三个部分(图1).由对称性可知，图1中左和右两部分各项之和相等，图1中间部分的各项之和为图1右边部分的各项之和为
图1
图1中间和右边的各项之和即为所求
评析
练习与例题看似不相关的两个问题，实则所用的思想方法类似，都是通过特值开路、一一罗列后探求规律.而数轴、数表都是教材上常见的工具，通过这些直观工具的运用，在动手操作的过程中发现规律.练习思路1先是取i
=1，罗列a
a
(1≤j
≤n
)所有项的和，再取i
=2，罗列a
a
(2≤j
≤n
)所有项的和，接着找出通项为2(2+2+1+…+2)，化简通项得2++1-22，最后为两个等比数列求和.竞赛题的思路2利用数轴，练习的思路2则利用数表直观呈现，学生通过观察可将数表分解为三个部分，由对称性知左右两部分各项和相等，中间和右边各项和即为所求.若缺少学生动手操作和数表呈现，直接给出以下答案解法：学生必定陷入深深的焦虑，教学效果可想而知.
如何提升优秀学生的数学思维，面对复杂问题，突破思维壁垒，是值得我们思考的问题.数学竞赛题复杂多变，怎样在错综复杂中寻找到最佳路线，需要的是巧做、化繁为简，利用常规思维方法来思考并解决复杂问题.学生通过动手操作，发现问题的本质规律，克服畏难情绪，增强学习信心，从而提高学习效率，形成优秀的思维品质和数学素养.
